Закон сохранения момента импульса

 

95) Скамья Жуковского представляет собой горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр диска. Человек с вытянутыми в стороны руками стоит на скамье Жуковского, которая вращается с частотой 0,8 об/с. С какой частотой станет вращаться скамья с человеком, если человек прижмет руки к груди, уменьшив тем самым суммарный момент инерции системы в 1,2 раза?

96) Горизонтально расположенная платформа в виде диска массой 80 кг и радиусом 60 см вращается с частотой 32 об/мин. На платформе лежит диск массой 3,4 кг и радиусом 14,4 см. Центр диска расположен над центром платформы. С какой частотой станет вращаться система, если диск переместить так, что его центр расположится над краем платформы?

97) Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень массой 3,1 кг и длиной 2,8 м, на концах которого закреплены шары. Центры шаров совпадают с концами стержня. Масса каждого шара равна 0,73 кг, радиус равен 15 см. При горизонтальном расположении стержня (когда центр стержня лежит на оси вращения) скамья вращается с частотой 0,8 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья, если человек расположит стержень вертикально на оси вращения? Момент инерции человека и платформы равен 22 кг∙м².

98) Крестовина в виде двух одинаковых взаимно перпендикулярных тонких стержней с соединенными центрами вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр крестовины. Длина каждого стержня равна 0,7 м, масса – 0,8 кг. На стержнях на равных расстояниях от центра крес-товины симметрично относительно него расположены четыре одинаковых шара массой 5 кг и радиусом 0,07 м каждый. Шары могут двигаться без трения вдоль стержней. При угловой скорости системы 14 рад/с центры шаров находились на расстоянии 20 см от концов стержней. Какова будет угловая скорость системы в момент времени, когда поверхности шаров достигнут концов стержней?

99) Карусель в виде однородного диска массой 160 кг и радиусом 1,5 м вращается с частотой 1 об/с. На краю карусели стоит мальчик. С какой частотой станет вращаться карусель, если мальчик со скоростью, направленной горизонтально вдоль радиуса карусели, 1) спрыгнет с карусели; 2) перейдет в ее центр. Когда мальчик стоит на краю карусели, его момент инерции относительно оси вращения равен 1,1 кг∙м².

100) На концах тонкого однородного стержня массой 1100 г и длиной 60 см закреплены два шара. Центры шаров совпадают с концами стержня. Масса каждого шара равна 100 г, радиус равен 6 см. Система вращается с частотой 2 об/с вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр. С какой частотой станет вращаться стержень, если шары слетят с него?

101) Горизонтальная платформа в виде диска массой 12 кг, радиусом 60 см вращается с частотой 30 об/с вокруг оси, перпендикулярной к плоскости платформы и проходящей через ее центр. На платформе на расстоянии 10 см от края закреплен шар массой 2 кг, радиусом 20 см. С какой частотой станет вращаться платформа, если шар слетит с нее?

102) Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью вращения колеса массой 3,0 кг, расположенного на верхнем конце стержня, и совпадает с осью симметрии колеса. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой 11 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья, если человек повернет стержень на угол, равный 180°, и колесо окажется на нижнем конце стержня? Суммарный момент инерции человека и скамьи составляет 5,6 кг∙м², радиус колеса равен 20 см. Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.

103) Скамья Жуковского вращается с частотой 5,3 об/мин. На скамье стоит человек и держит в руках стержень, расположенный горизонтально. Стержень совпадает с осью шара, вращающегося на стержне с частотой 18,2 об/мин. Центр шара находится на расстоянии, равном его радиусу, от конца стержня. С какой частотой станет вращаться скамья, если человек расположит стержень вертикально вдоль оси вращения скамейки и шар окажется на нижнем конце стержня? Момент инерции человека и скамьи составляет 6,7 кг∙м², масса шара равна 1,0 кг, его радиус равен 20 см. В начальном положении стержня расстояние от оси скамьи до центра шара равно 50 см. Моментом инерции стержня пренебречь.

104) Внутри покоящегося циркового колеса с закрепленной осью вращения на нижней части внутренней поверхности сидит белка массой 420 г. В некоторый момент времени белка начинает бежать по внутренней поверхности колеса. С какой линейной скоростью относительно колеса должна двигаться белка, чтобы все время оставаться на одном и том же месте относительно арены цирка? Масса колеса равна 870 г, диаметр равен 80 см. Колесо считать тонкостенным полым цилиндром, белку – материальной точкой.

105) Горизонтальный диск может вращаться вокруг собственной оси. По поверхности диска проложены рельсы игрушечной железной дороги. Рельсы образуют окружность радиусом 50 см, центр которой совпадает с осью диска. Масса диска равна 10 кг, его радиус – 60 см. На рельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой 0,8 кг и выпущен из рук. С какой угловой скоростью начнет вращаться диск, если паровозик начнет движение по рельсам со скоростью 0,8 м/с относительно рельсов?

106) На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2,1 м, стоит человек. Масса платформы равна 200 кг, человека - 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вра-

щаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 1,9 м/с относительно платформы. Рассмотреть случаи: 1) платформа первоначально покоилась; 2) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,7 рад/с, и человек пошел в направлении вращения; 3) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,7 рад/с, и человек пошел в направлении, противоположном направлению вращения.

107) Горизонтальная платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг собственной оси. На краю покоящейся платформы стоял человек. На какой угол повернулась платформа, если человек, прошел вдоль ее края и вернулся в первоначальное положение 1) относительно платформы; 2) относительно Земли? Масса платформы равна 240 кг, человека - 60 кг. При вычислении момента инерции человека считать человека материальной точкой.

108) На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 1,3 м, стоит человек. Масса платформы равна 150 кг, человека - 70 кг. Если человек пойдет вдоль края платформы с постоянной скоростью, то платформа будет вращаться с постоянной частотой 0,7 об/с. Какое время потребуется человеку для того, чтобы, обойдя платформу по краю, вернуться в ту же точку на платформе, с которой стартовал? Рассмотреть случаи: 1) платформа первоначально покоилась; 2) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,8 об/с, и человек пошел в направлении вращения платформы.

109) Шар массой 800 г и радиусом 3 см, катящийся по горизонтальной плоскости без скольжения, налетает со скоростью 8 м/с на покоящийся шар такого же радиуса массой 2,0 кг. Найти скорость каждого шара после абсолютно неупругого удара.

110) Шар массой 2,0 кг, радиусом 2,4 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, имея импульс 10 кг∙м/с, и сталкивается с покоящимся шаром массой 8,0 кг и радиусом 3,6 см. После удара направление движения налетевшего шара изменилось на 30º. Считая удар абсолютно упругим, определить импульсы обоих шаров после удара.

111) Шар массой 200 г, катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 10 м/с, налетает на неподвижный шар массой 100 г такого же радиуса. Удар лобовой, абсолютно упругий. Найти скорость каждого шара после удара.

112) На тонком вертикальном стержне длиной 0,3 м и массой 0,2 кг закреп-лен шар массой 600 г и радиусом 0,03 м. Центр шара совпадает с концом стержня. Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Пуля массой 15 г, летящая вниз со скоростью 200 м/с под углом 30° к горизонту по направлению к центру шара, попадает в шар и застревает в нем. На какой угол отклонится стержень после удара?

113) Вертикально висящий однородный стержень может вращаться вокруг оси, проходящей через его верхний конец. Масса стержня равна 1,7 кг, его длина - 1,4 м. Пуля массой 20 г, летящая вниз под углом 45° к горизонту со ско-ростью 10 м/с, застревает в середине стержня. Каково изменение потенциальной энергии стержня в момент отклонения от вертикали на максимальный угол по сравнению с начальным значением? Трением пренебречь.

114) Горизонтально летящая пуля массой 30 г попадает в нижний конец вертикально висящего стержня массой 2,0 кг и длиной 0,5 м и застревает в нем. От удара стержень отклоняется от вертикали на 8°. Найти скорость пули перед ударом, если ось вращения стержня проходит через его верхний конец. Со стороны крепления на стержень действует постоянный тормозящий момент, равный 0,4 Н×м.

115) Покоящаяся крестовина сделана из двух одинаковых тонких стержней, расположенных взаимно перпендикулярно. Середины стержней соединены. Крестовина может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее центр. Масса каждого стержня равна 1,5 кг, длина - 0,5 м. Пуля массой 30 г, летящая горизонтально в плоскости фигуры со скоростью 50 м/с, попадает в вертикально расположенный стержень и застревает в нем в точке, расположенной на расстоянии 0,2 м выше центра крестовины. Система начинает вращаться. Сколько оборотов сделает крестовина до остановки, если на нее со стороны крепления действует постоянный тормозящий момент 0,2 Н×м? Найти кинетическую энергию системы после удара, а также потерю энергии на деформацию стержня и пули.

116) Горизонтально расположенная карусель массой 107 кг в форме диска диаметром 2,0 м может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На карусель прыгает мальчик массой 35 кг и приземляется в точке, находящейся на расстоянии 0,7 м от центра карусели. Скорость мальчика в момент приземления направлена горизонтально по касательной к окружности, по которой

движется точка приземления мальчика, модуль скорости равен 2,1 м/с. Найти: 1) угловую скорость, с которой стала вращаться карусель после приземления мальчика; 2) изменение кинетической энергии системы в результате прыжка.

117) Вертикально висящий стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Масса стержня - 0,7 кг, длина - 0,5 м. Пуля массой 50 г, летящая горизонтально, пробивает стержень на расстоянии 0,1 м от нижнего конца. Скорость пули до и после удара равна 45 и 28 м/с соответственно. На какой угол отклонился стержень? Какова кинети-ческая энергия стержня после удара? Трением на оси пренебречь.

118) Пуля массой 20 г, летящая горизонтально, пробивает центр вертикально висящего стержня массой 1,2 кг и длиной 90 см и вылетает со ско-ростью 24 м/с. Стержень отклонился от вертикали на 25°. Найти скорость пули до удара, если ось вращения стержня расположена горизонтально и пересекает стержень на расстоянии, равном 1/3 его длины от верхней точки стержня. Трением на оси пренебречь.

119) Маятник представляет собой прямой тонкий стержень массой 1 кг и длиной 0,5 м, на конце которого находится шар массой 6 кг и радиусом 20 см. Центр шара лежит на оси стержня, поверхность шара соприкасается с концом стержня. В состоянии равновесия стержень расположен вертикально, ось вращения проходит через его верхний конец. В покоящийся шар попадает маленький стальной шарик массой 24 г, летящий горизонтально со скоростью 217 м/с. На какую высоту поднимется центр шара, если удар абсолютно упругий и центральный?

120) Вертикально расположенный стержень может вращаться вокруг закрепленной горизонтальной оси, проходящей через центр стержня. Летящий горизонтально стальной шарик попадает в верхний край стержня и отскакивает от него после абсолютно упругого удара. Направление скорости шарика перпендикулярно оси вращения. Найти скорость шарика до и после удара, если угловая скорость стержня после удара равна 100 рад/с. Масса шарика равна 14,4 г, стержня - 180 г, его длина - 60 см.

 

3. ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

 

Задача. От удара бойка копра массой 520 кг, свободно падавшего с некоторой высоты, свая погружается в грунт на 4,4 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее постоянной, если скорость бойка перед ударом равна 9,7 м/с. Масса сваи равна 80 кг. Удар считать абсолютно неупругим. Какая часть энергии бойка перешла в тепловую энергию в результате удара?

Дано: M = 520 кг S = 4,4 см u1 = 9,7 м/с m = 80 кг

Найти: Fc, k – ?

Решение. Непосредственно перед ударом кинетическая энергия и импульс системы равны энергии и импульсу копра (рис. 1, а):

; (3.1)

(3.2)

Сразу после абсолютно неупругого удара (рис. 1, б) кинетическая энергия и импульс системы – это энергия и импульс совместного движения сваи и копра со скоростью :

; (3.3)

. (3.4)

В момент удара сила взаимодействия молота и сваи (сила удара) много больше внешних сил и поэтому практически полностью определяет изменение движения тел. Следовательно, систему «молот – свая» в момент удара можно считать замкнутой, и для нахождения скорости сов-местного движения можно использовать закон сохранения импульса:

. (3.5)

Подставив в формулу (3.5) выражения (3.2) и (3.4), получим:

= , (3.6)

отсюда

( 3.7)

следовательно,

. (3.8)

В соответствии с законом сохранения энергии

, (3.9)

где Q – количество теплоты, выделившееся при ударе,

поэтому долю энергии, перешедшей в момент удара в тепловую, можно вычислить по уравнению:

. (3.10)

Последовательная подстановка формул (3.1) и (3.8) в уравнение (3.10) приводит к выражению:

. (3.11)

Подставим в выражение (3.11) численные значения:

.

Рассмотрим процесс углубления сваи. В этом процессе на систему действуют внешние силы: тяжести и сопротивления грунта.

Согласно теореме об изменении кинетической энергии ее приращение от момента удара копра о сваю до их остановки равно алгебраической сумме работ силы сопротивления и силы тяжести:

, (3.12)

где - кинетическая энергия системы в момент остановки, = 0;

 

–работа сил тяжести и сопротивления грунта соответственно.

Свая погружается в грунт на расстояние S, поэтому работа силы тяжести по перемещению системы

(3.13)

где учтено, что направления перемещения системы и силы тяжести совпадают (рис. 1, в).

Направления силы сопротивления и перемещения противоположны (см. рис. 1, в), следовательно, угол между ними равен π.

Сила сопротивления грунта считается постоянной на протяжении всего процесса углубления, поэтому работа силы сопротивления

. (3.14)

Подставив выражения (3.3), (3.13) и (3.14) в формулу (3.12), получим:

. (3.15)

Из уравнения (3.15) с учетом соотношения (3.8) найдем силу сопротивления грунта:

. (3.16)

Подставив в формулу (3.16) численные данные[2], вычислим силу сопротивления грунта:

Ответ: ;

 

Библиографический список

1. Дроздова И. А. Законы сохранения в механике (примеры решения задач) / И. А. Дроздова, Г. Б. Тодер / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск. 2009. 36 с.

2. Савельев И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. М., 1998. Т. 3. 304 с.

3. Джанколи Д. Физика / Д. Джанколи. М., 1989. Т. 2. 667 с.

4. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. М., 2002. 478 с.

5. Никитин Н. Н. Курс теоретической механики / Н. Н. Никитин. М., 1990. 607 с.

6. Детлаф А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М., 2001. 607 с.