Обозначим: а - математическое ожидание генеральной совокупности случайной величины X; оно называется истинным значением величины X, ά и σ` - соответственно математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение выборки, т.е. серий выборочных измерений этой величины. Величины а и ά , как правило, не совпадают друг с другом и могут отличатся значительно. Задача состоит в том, чтобы правильно выбрать интервал вокруг – ά - (ά ± ∆ά) , который бы с достаточной степенью надежности заключал истинное значение - а. Этот интервал называют доверительным интервалом.
Надежностью результата серии измерений называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины (а) попадает в выбранный доверительный интервал выборки. (ά ± ∆ά)
Чем больше величина доверительного интервала, т.е. чем больше (∆ά), тем с большей надежностью величина (а) попадает в этот интервал. Доверительный интервал зависит в первую очередь от величин и ∆ά , а также от числа измерений в выборке. При малой выборке значительное отклонение одного из измерений значительно изменяет величину ά , при большом количестве измерений (n > 30) значительное отличие одного из измерений практически не меняет ά.
Теория показывает, если n >, 30, то доверительный интервал определяется следующими правилами:
∆ά = σ при надежности 0,68
∆ά = 2σ при надежности 0,95
∆ά = Зσ при надежности 0,997
В медицинских и биологических исследованиях, как правило, считается достаточной надежностью - 0,95.
Т.е., чтобы найти величину доверительного интервала (при n >30) нужно определить математическое ожидание а и величину среднеквадратичного отклонения σ для данной выборки.
Доверительный интервал равен [ά - 2σ`, ά + 2σ`]
При малых выборках доверительный интервал находят с помощью t - критерия Стьюдента (англ. Госсет). Госсетом составлены специальные таблицы для t - критерия в зависимости от числа измерений:
t = ∆ά/σ`; отсюда ∆ά = tσ`
Пример: проводя пять измерений толщины пластины микрометром, нашли, что ά = 2,16 мм, σ` = 0,022 мм . Определить доверительный интервал. По таблице Стьюдента определяем для Р = 0,95, n = 5, t = 2,78, ∆ά = 2,78 * 0,022 = 0,06.
Доверительный интервал [2,16 - 0,06, 2,16 + 0,06], т.е. 2,10 < Х < 2,22. С помощью t = критерия Стьюдента решается и обратная задача: задав определённый интервал (ά ± ∆ά) вокруг выборочного математического ожидания определяют надежность того, что математическое ожидание генеральной совокупности входит в этот интервал.
При анализе экспериментальных распределений часто приходится решать три основные задачи:
- относится ли то или иное значение измеренной величины к данной выборке,
- соответствует ли данное выборочное распределение какому - либо теоретическому распределению,
- являются ли два экспериментальных распределения выборками из одной и той же генеральной совокупности.
Все три задачи сводятся к одной - определить существует ли различие между объектами, указанными в каждой из задач. Это позволяет сформулировать общий подход к решению задач.