Задача: Определить площадь S криволинейной трапеции, ограниченную двумя прямыми х = а, х = b, осью абсцисс (у=0) и функцией у = f(x). Разобьем интервал [ab] на несколько равных отрезков. Площадь указанной фигуры будет равна сумме площадей криволинейных трапеций. Приблизительно можно вычислить эту площадь как сумму прямоугольников, основанием которых являются приращения аргумента ∆xi, а высотой значения функции в середине отрезка приращения аргумента. Обозначим ее f(xi). Аналитически это можно выразить так:
S = f(x1)∆x1 +f(x2)∆x2+...+ f(xn)∆xn = ∑f(xi)∆xi
Более точно мы определим площадь, если будем разбивать интервал [ab] на большее число отрезков. Тогда ∆xi → 0. Таким образом, площадь криволинейной трапеции будет равна:
Sжт.Тт = lim∆x→0∑f(xi)∆xi,
где ∑f(xi)∆xi - называется интегральной суммой.
Определение: Функция f(x) в некотором интервале от х = а до х = b интегрируема, если существует такое число J, к которому стремится интегральная сумма при ∆х → 0.
Это выражение получило название определенного интеграла и обозначается:
J = lim∆x→0∑f(xi)∆xi
где [ab] - область интегрирования, а - нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования.
В нашей задаче: S = ∫f (x)dx.
Определенный интеграл находится по правилу Ньютона - Лейбница: