Алгоритм решения задач анализа свободных колебаний в электрических цепях

Ø анализируем состояние цепи в момент времени t = 0 и определяем начальные условия – совокупность значений величин U_c(0) и i_l(0);

Ø составляем схему цепи в операторных параметрах. Нулевые начальные условия в схеме будут отражены источниками с соответствующими операторными задающими характеристиками;

Ø выбираем метод и записываем систему уравнений (или одно уравнение) в операторной форме;

Ø находим решение уравнений и представляем изображение искомого колебания в виде отношения многочленов (1.23);

Ø исследуем характеристический многочлен. Находим значения его нулей на комплексной плоскости. При необходимости используем критерий устойчивости Раусса-Гурвица (1.31);

Ø определяем структуру решения на основании общего вида решения задачи анализа, в зависимости от расположения нулей V(p);

Ø определяем коэффициенты S_k, S_l ψ_l решения (1.25) и записываем его в окончательном виде. Строим график полученной функции;

Ø анализируем полученный результат.

 

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих алгоритм исследования процессов свободных колебаний и критерий устойчивости Раусса-Гурвица.

 

Пример 1.1. КОНТУР УДАРНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

 

Пусть в цепи (рис.1.1) в момент времени t=0 электронный прибор, работающий в ключевом режиме, запирается управляющим сигналом. До запирания ток инжекторного электрода равен I₀. Пренебрегая влиянием разделительной емкости C_p (т.к. C_pC) найти выходное напряжение U_вых(t) при

 

t0. E_п

1) Определяем начальные условия

 

S_упр i_L(0)= I₀; u_c(0)= 0

С_р

 

L C R u_вых(t)

 

 

Рис.1.1. Контур ударного возбуждения

 

2) Составляем схему в операторных параметрах

U(p) = U_вых(p)

 

 

Рис.1.2. Эквивалентная схема контура ударного возбуждения для

операторных величин

 

3) Записываем узловое уравнение для изображения напряжения U(p)

(pC + G + 1pL ) U(p) = I₀ ⁄ p

4) Записываем решение уравнения

U(p)=,где>0; >0

5) Исследуем характеристический многочлен V(p)= p² + 2δp + . Его корни p_1,2 = -δ ± , при условии (контур колебательный), являются парой комплексно-сопряженных величин p_1,2 = - , где = . Вещественная часть корней – отрицательная, следовательно - цепь является устойчивой.

6) На основании общего решения задачи о свободных колебаниях, записываем структуру решения

U_вых(t) = U₁e ^–δt cos (ω₁t + ψ₁ ) , (t 0)

7) Определяем коэффициенты решения U₁ и ψ₁

U₁ = 2= ; ψ₁ = arg = -

8) Записываем решение в окончательном виде

U_вых = , (t0)

9) Анализируем полученный результат. Выходной сигнал U_вых(t) (рис.1.3) представляет собой затухающее синусоидальное колебание начальная амплитуда которого, пропорциональна начальному току I₀, частота меньше резонансного значения ω₀; скорость убывания колебаний тем меньше, чем больше R (чем выше добротность колебательной системы) и т.д.

U_вых(t)

 

t

 

Рис.1.3. Закон изменения U_вых(t) в контуре ударного возбуждения

 

Пример 1.2. НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ РАЗВИТИЯ КОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ

Данная цепь – резонансный усилительный каскад с положительной обратной связью (рис.1.4). Найти условия при которых в цепи возникают автоколебания и определить их характер.

 

 

б)

 

а) Рис.1.4. Автогенератор гармонических колебаний (а – электрическая схема, б – эквивалентная схема для операторных величин)

 

1) Начальные условия – нулевые, но предположим, что в момент времени t = 0 произошло очень малое изменение тока ЭП (флуктуация) и, следовательно, тока индуктивности. Пусть изображение этой флуктуации представляется источником токас задающей величиной J⁰(t).

2) Составляем схему цепи в операторных параметрах (1.14.б).

3) Записываем узловое уравнение

( pC + G_i + ) U(p) = nSU(p) + J⁰(p)

Преобразуем его к виду

( pC + G_i ─ nS + ) U(p) = J⁰(p)

4) Записываем решение уравнения

U(p) = , где 0; 0

5) Исследуем характеристический многочлен V(p) = p² + 2δp + . Его корни p_1,2 = -при условии (контур колебательный) являются парой комплексно сопряженных величин , где . При GnS действительная часть корней отрицательна и, следовательно, цепь устойчива. При GnS действительная часть корней положительна, цепь неустойчива, а свободные колебания описываются выражением

U(p) = U₁, (t 0).

6) Анализируем полученные результаты. Если GnS, то свободные колебания носят затухающий характер и цепь в этом случае является регенеративным усилителем. Если GnS, то свободные колебания экспоненциально нарастают от сколь угодно малой величины до значений при которых наступает ограничение нарастания амплитуды колебаний, связанное с нелинейными областями ВАХ ЭП (вольтамперная характеристика электронного прибора) (рис.1.5). Скорость нарастания колебаний тем больше, чем больше S и n, в этом случае цепь, является генератором гармонических колебаний частоты ω₁.

 

Рис.1.5. График изменения напряжения U_вых(t), где f =

 

Пример 1.3. РЕЖИМ РАБОТЫ ЦЕПИ С ТУННЕЛЬНЫМ ДИОДОМ

 

Рассматривается цепь (рис.1.6.) с туннельным диодом ВАХ которого задана графиком (рис.1.7.). Нагрузочная линия в режиме покоя пересекает ВАХ диода в трех точках (случай 1) или в одной точке (случай 2). В точке покоя А значение крутизны ВАХ g_а = , в точках Б и С g_б,с0. В зависимости от параметров цепи R, L, C и E_п могут возникнуть следующие режимы работы схемы цепи с туннельным диодом – триггерный, усилительный и автоколебательный. Найдем условия, при которых осуществляется тот или иной режим работы и определим характер свободных колебаний в линейной области работы цепи с туннельным диодом.

 

 

а) б)

Рис.1.6. Схема цепи с туннельным диодом для режима колебаний (а – электрическая схема, б–эквивалентная схема)

i=φ(u)

I₀ u

Рис.1.7. Графики ВАХ туннельного диода и нагрузочной линии

 

1) Пусть начальные условия – не нулевые, имеющие определенный или флуктуационный характер. Представим их изображением источника напряжения E⁰(p).

2) Составим схему линеаризованной цепи в операторных параметрах справедливую для малых окрестностей рабочих точек А, Б и С.

 

Рис.1.8. Эквивалентная схема цепи с туннельным диодом в операторных величинах

3) Записываем контурное уравнение

.

4) Записываем решение данного уравнения в следующем виде

, где =.

5) Исследуем характеристический многочлен цепи при различных соотношениях параметров. Обозначим ; , тогда .

В соответствии с критерием Раусса-Гурвица цепь устойчива, если

и =a₁a₂0, т.е. если a₁0 и a₂0 одновременно. Т.к. в районе точек Б и С дифференциальная проводимость туннельного диода G_Б,С0, а в районе точки А - G_А0 , то продолжаем исследовать устойчивость цепи для точки А (в окрестностях точек Б и С цепь устойчива, что следует из выражения для констант a₁ и a₂).

Случай 1: , тогда a₂0, цепь неустойчива. Замечаем, что при условии нагрузочная линия пересекает ВАХ ЭП в трех точках и при возникновении малейшей флуктуации тока произойдет переход состояния цепи из точки А точку Б или С. В любой из точек Б или С состояние цепи устойчиво.

Один из корней характеристического полинома V(p) положителен, т.е. p₁=+δ₁. Поэтому свободное колебание, соответствующее переходу в устойчивое состояние, на начальном этапе будет экспоненциально нарастающим. Следовательно

i(t)= через достаточный момент времени t (t›0).

В рассмотренном случае цепь характеризуется двумя устойчивыми состояниями и может использоваться в качестве триггера. Переход цепи из одного устойчивого состояния в другое можно осуществить управляющими импульсами той или иной полярности, прикладываемыми к диоду.

Случай 2: a₁›0; a₂›0 – цепь в точке А устойчива, характеристический многочлен имеет пару комплексно-сопряженных корней:

p_1,2 = - ,

свободные колебания являются затухающими и описываются выражением

i(t)= , (t≥0).

Компенсирующее слагаемое в показателе экспоненты указывает на режим регенеративного усиления в цепи.

Случай 3: a₁‹ 0; a₂› 0 – цепь неустойчива, корни определяются выражением

p_1,2 =

и при условии , являются парой комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частью p_1,2 = +δ ± iω. Тогда свободные колебания на начальном этапе определяются выражением i(t)= , описывающим нарастание колебаний в автогенераторе. Спустя некоторое время в цепи установятся гармонические автоколебания частоты =.

Если же , то оба корня V(p) вещественны, причем один положительный p₁ = -δ₁, а другой - отрицательный p₂ = δ₂. Свободные колебания на начальной стадии определяются выражением

i(t)= ,

в котором существенным является первый член. При указанных условиях в цепи будут существовать релаксационные автоколебания, т.е. цепь будет представлять собой генератор релаксационных колебаний – мультивибратор.

Итак, в рассмотренном примере в зависимости от соотношения параметров R, G_A, C и L цепь с туннельным диодом может быть либо автогенератором гармонических колебаний, либо генератором релаксационных колебаний – мультивибратором, либо регенеративным усилителем.

 

§1.4 Общий вид решения задачи анализа прохождения сигнала через устойчивую линейную цепь

Пусть ко входу линейной инвариантной устойчивой цепи в момент времени t=0 приложен входной сигнал S_вх(t), являющийся функцией-оригиналом. И пусть имеется единственное заданное воздействие S_вх(t), приложенное к какой-либо части системы, а определению подлежит единственный отклик системы S_вых(t) в той или другой ее части. Начальные условия нулевые. Выберем метод и составим систему уравнений в операторных величинах.

Используя метод контурных токов или метод узловых напряжений, составим уравнение или систему алгебраических уравнений в операторной форме:

(1.32)

.

Эта система уравнений является алгебраической, ее решение относительно искомого колебания строится на основе правила Кра­мера и приводится к виду:

(1.33)

где – Δ(р) – определитель системы уравнений; Δ_kl(р) – алгеб­раическое дополнение, в котором индекс k указывает ту часть цепи, где действует источник входного сигнала, индекс l – указывает ту часть цепи, где наблюдается выходной сигнал; А(р) – сомножитель, присут­ствующий в решении в тех случаях, когда размерность искомого колебания отлична от размерности функций, выбранных в качестве искомых при составлении уравнений; Т(р) – сомножитель, свя­зывающий изображения входного и выходного сигналов и называемый операторной передаточной функцией цепи. Если k=l (выходной сигнал рассматривается там же, где действует входной сигнал), то Т(р) является либо операторным входным сопротивлением цепи Z_вх(р), либо операторной входной проводимостью Y_вх(р).

Операторная передаточная функция линейной цепи Т(р) является ее важнейшей характеристикой. В ней содержится вся информация о составе цепи, а также о свойствах цепи передавать и преобразовывать сигналы. В связи с этим в тео­рии цепей исследованию T(р) уделяется много внимания, особен­но при решении задач синтеза цепей. Сечение функций Т(р) вдоль мнимой оси комплексной плоскости (р=jω) приводит к комп­лексной передаточной функции Т(р)|_p=jω=Т(ω), а обратное преобразование Лапласа для Т(р) определяет импульсную функцию цепи Z^-1[T(р)]=g(t) - отклик цепи на воздействие вида S_вх(t)=δ(t).

Обратное преобразование Лапласа для S_вых(р) можно осу­ществить различными способами и получить при этом разные пред­ставления искомого выходного колебания.

Применение к выражению S_вых(p)=Т(р)S_вх(p) свойства (1.9) приводит к решению задачи в форме интеграла наложения:

(1.34)

Вычислять Т(р) при этом не нужно.

Заметим, что T(p) является дробно-рациональной функцией, T(p)=M(p)/V(p), где V(p) - характеристический многочлен цепи, а S_вх(р) для большинства сигналов либо отношение мно­гочленов, либо отношение целой функции к многочлену S_вх(р)=N(p)/W(p). Поэтому - тоже либо отношение многочленов, либо отношение целой функции к многочле­ну и, следовательно, обратное преобразование Лапласа в случае простых полюсов изображения S_вых(p) имеет вид:

(t≥0), (1.35)

где p_k - нули многочленов W(р) и V (р). В этой сумме нули, относящиеся к характеристическому многочлену цепи V(p), определяют собственные колебания цепи, а корни многочлена W(p), связанного с изображением воздействия, опре­деляют вынужденные колебания. Собственные колебания цепи уже рас­сматривались, в связи с задачей анализа свободных колеба­ний, но в данном случае они возникают при возбуждении цепи вход­ным сигналом. Для устойчивых цепей собственные колебания носят затухающий характер. Вынужденные колебания в зависимости от ха­рактера воздействия S_вх(t) могут оказаться затухающими, нарастающими и стационарными. Поэтому корни W(p) могут распо­лагаться как в левой, так и в правой полуплоскостях, а также на мнимой оси.

В случае простых полюсов S_вых(p) решение задачи анализа вынужденных колебаний в общем виде определяется формулой:

(t≥0) , (1.36)

где первая сумма обусловлена действительными нулями p_к=α_к > 0 или p_к=α_к < 0 полиномов V(p) и W(p), вторая - парами комплексно-сопряженных нулей р_l=α_ljω_l, а величины S_k, S_l и Ψ_l определяются выражениями:

(1.37)

Необходимо уметь решение конкретных задач приводить именно к такому виду и вычислять значения коэффициентов решения S_k, S_l и Ψ_l.

В теории цепей представляет интерес задача анализа процесса перехода цепи из одного установившегося режима в дру­гой. Такие процессы называют переходными. К установившимся отно­сят режимы: покоя, постоянного тока, гармонических колебаний и периодических колебаний. Из этого определения видно, что свобод­ные колебания - частный случай переходного процесса. В общем случае задача анализа переходных процессов сводится к опреде­лению отклика цепи на воздействие вида S_вх(t)=S₀σ (t) или S_вх(t)=S₀cos(ω t+Ψ )σ(t), или при ненулевых начальных условиях, которые следует определить, анализируя состояние цепи в исходном, установившемся режиме.