Ø определяем начальные условия
Ø записываем неоднородные дифференциальные уравнения (1.41) или (1.42) для конкретных начальных условий
Ø решаем неоднородное дифференциальное уравнение, находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения
Ø находим общее решение дифференциального уравнения для изображения напряжения U(x,р) и тока I(х,р)
Ø определяем коэффициенты А1(р) и А2(р) из граничных условий
Ø записываем решение для напряжения и тока в операторной форме (1.43) - (1.44)
Ø восстанавливаем оригиналы для напряжения и тока
Ø анализируем полученное решение
Пример 1.6. РАЗРЯД ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ
Исследовать разряд однородной линии без потерь (R=G=0), разомкнутой на конце через активное сопротивление .
Исследовать свободные колебания в линии без потерь (рис.1.15).
Рис.1.15. Длинная линия без потерь разомкнутая на конце
Для однородной длинной линии без потерь имеем
1) В соответствии с алгоритмом определяем начальные условия:
u(x,0)=E0; i(x,0)=0.
Линия до начала исследования была заряжена от источника постоянного напряжения до величины E0. Ток через сопротивление отсутствовал.
2) Уравнение процесса для заданных начальных условий имеет вид (1.42):
3) Находим решение неоднородного дифференциального уравнения. Так как правая часть уравнения постоянная величина (не зависящая от х), то и частное решение неоднородного уравнения ищем в виде постоянной величины U0=const. Подставляя частное решение в уравнение, получаем:
-p2LCU0=-pLCE0; тогда
4) Записываем общее решение операторного уравнения длинной линии:
Подставляя найденное значение U0 и начальное значение для i(0,х), окончательно определяем:
5) Используем граничные условия для определения коэффициентов A1, и А2. В начале линии выполняется следующее соотношение:
x=0, U(0,р)= -RI(0,р),
а так как в конце линия разомкнута, то при x=l получаем, что I(l,р)=0.
Следовательно, при x=0
поэтому
откуда находим
при x=l:
6) Записываем решение в операторной форме:
. Введем обозначение − время задержки сигнала, т.е. время, за которое сигнал доходит до конца линии.
7) Восстанавливаем оригинал:
8) Анализируем полученный результат:
а) Определяем напряжение в сечениях x=0, и l.
В сечении x=0
.
В начале линии происходят следующие процессы: в начальный момент прямая волна распространяясь к концу линии, разряжает ее до величины 1/2 Е0. Отразившись от конца линии она возвращается к началу линии и в момент времени равный 2τ разряжает ее до нуля. Поскольку время распространения прямой и обратной волн разряда линии равен 2τ, то в начале линии наблюдается прямоугольный импульс длительностью 2τ и амплитудой ½E0 (рис.1.16).
Рис.1.16. Закон изменения напряжения во времени в сечении х=0
б) Определим напряжение в сечении x=l/2 (рис.1.17).
В сечение х=l/2 прямая волна приходит в момент времени τ/2 и разряжает ее от значения амплитуды Ео до амплитуды ½Ео. В момент времени t=τ волна достигает конца линии и, отразившись, продолжает разряжать ее до нулевого значения (рис.1.17). В момент времени ⅔τ в сечении x=l/2 линия разрядится до нуля.
Рис.1.17 Закон изменения напряжения во времени в сечении x=l/2.
в) Определим напряжение в сечении x= l (рис.1.18).
При x=l
На конце линии наблюдается импульс амплитудой E0 и длительностью τ, так как волна разряда достигает конца линии за время, равное τ (рис.1.18).
Рис.1.18. Закон изменения напряжения во времени в сечении x = l
г) Распределение напряжения в различные моменты времени (рис.1.19). Пусть, например, t=τ/2, тогда
Первое слагаемое описывает постоянный уровень Eо, второе слагаемое - прямую волну ступенчатой формы с амплитудой равной Eо/2, бегущую слева направо, третье слагаемое - обратную волну ступенчатой формы с амплитудой Eо/2, бегущуюсправа налево. В пределах длины линии 0<x<l наложение этих волн описывает процесс разряда линии (рис.1.19).
Рис.1.19. Распределение напряжения вдоль длинной линии во времени