При вращательном движении ТТ все его точки движутся по окружностям с центрами на оси вращения ( рис. 2.3).
Угловые скорости ω всех точек тела одинаковы, а линейные зависят от их расстояний r до оси вращения.
Рассмотрим вращение тела под действием внешней силы (рис 2.4). Через точку приложения силы перпендикулярно оси вращения проведем плоскость А. Разложим силу на параллельную оси вращения и перпендикулярную ей . Сила не вызывает вращения, так как действует вдоль оси. Тело вращается под действием силы, которая в плоскости А имеет составляющие и . Сила действует вдоль направления радиуса и не может вызвать вращение тела. Следовательно, тело вращается под действием силы
=,
где α – угол между направлениями радиус-вектором и силой .
В соответствии со вторым законом Ньютона касательное ускорение точки mi
Умножим левую и правую часть последнего равенства на ri и
. (2.10)
В равенстве (3.6) соотношение - момент инерции материальной точки, ri·sinα = h – плечо а =М - момент силы .
Момент инерции тела массой m, объемом V и плотностью вещества ρ определяется из соотношений:
(2.11)
В таблице приведены моменты инерции тел правильной геометрической формы
Таблица 1
Тело | Обруч, кольцо | Диск, сплошной цилиндр | Полый цилиндр | Шар | Стержень | |
Геометрия | ||||||
Момент инерции |
Момент инерции тела находящихся на расстояния d от оси вращения (рис. 2.5) определяется по теореме Штейнера
J=Jc+md2 . (2.12)
Если d=0 и ось проходит через центр инерции, то момент инерции определяется по формуле (3.7)
Вектор момента силы находится на оси вращения, а его направление определяется правилом правого винта поворотом вектора к вектору по кратчайшему пути.
В соответсвии с равенством (2.10) на тело с моментом инерции J вращающееся вокруг оси с угловым ускорением действует момент силы:
(2.13)
Произведение - называется моментом импульса тела, так как для точки mi справедливо равенство .
Для изменения момента импульса справедливы равенства:
(2.14)
Для конечного промежутка времени ∆t изменение момента импульса тела.
(2.15)