Сглаживание и интерполяция данных

 

Часто на результаты измерений накладывается шум. Кроме того, существенные флуктуации результатов измерений приводят к тому, что непосредственные показания прибора уже недостаточно точно отражают мгновенное значение определяемого параметра. В таких случаях необходимы обработка или сглаживание сигнала.

В простейшем способе сглаживания данных применяют фильтр первого порядка (аналогичный резистивно-емкостному фильтру), который равномерно ослабляет флуктуации входного сигнала, причем степень ослабления возрастает по мере повышения частоты флуктуаций. Такой фильтр характеризуется постоянной времени t_f, входные сигналы, частота которых намного меньше t_f^-1 ослабляются до пренебрежимо малой величины на выходе, а флуктуации с частотами, намного превышающими t_f^-1, проходят через фильтр практически без изменений. В дискретно-временной форме, удобной для ввода в цифровую ЭВМ, действие фильтра описывается уравнением [2]

(10.4)

где и — сигнал на входе в фильтр (сигнал с шумами); w — сигнал на выходе из фильтра; индексы k и k—1 обозначают время анализируемого и предыдуш,его отсчета; a₀, a₁ и b₁ — параметры, определяющие характеристики фильтра. В частности, t_f связано с временем отсчета T_s (временем между двумя отсчетами) и параметром b₁ уравнением

(10.5)

Другой расчетный метод, называемый определением скользящего среднего, принципиально проще, но позволяет добиться примерно такой же эффективности сглаживания. В этом методе измерения проводят чаще и усредняют какое-либо заданное число последовательных измерений (например, 10 измерений); представительным результатом измерений для всего диапазона времени измерений считают это среднее значение. Такой подход представляется вполне оправданным в тех случаях, когда значительное изменение определяемых параметров происходит за значительно больший промежуток времени, чем время, необходимое для однократного измерения.

Джефферис и сотрудники [35] предложили анализировать данные о процессах ферментации с помощью более сложного фильтра, обеспечивающего также полиномную интерполяцию. В качестве примера рассмотрим применение этого фильтра для оценки концентрации биомассы и скорости клеточного роста по зашумленным результатам периодических турбидиметрических измерений. Изменение концентрации биомассы во времени в течение временного интервала т, предшествовавшего измерению, можно описать полиномом второго порядка

(10.6)

Нам необходимо определить значения коэффициентов α₁, α₂ и α₃ с помощью измеренного значения х, x(tk), найденных ранее значений х и, возможно, той или иной информации о характере шумов. Для этого можно, например, методом наименьших квадратов определить отклонения от величин, предсказываемых уравнением (10.6), в интервале времени от t_k—τ до t_k. Такой рекурсивный метод обработки данных описан в работе [35]. Другие методы обработки зашумленных данных рассмотрены в литературе, приведенной в конце главы.