Оценка параметров и состояния системы

 

Если накоплением кислорода в реакторе пренебречь, то уравнение материального баланса по кислороду для периодического процесса принимает форму

(10.7)

где индексами f и e обозначены параметры на входе в реактор и на выходе из него соответственно. В этом уравнении учтен расход кислорода как на клеточный рост, так и на метаболизм поддержания жизнедеятельности клеток. Путем определения состава газов, поступающих в реактор и выходящих из него, можно экспериментально определить скорость утилизации кислорода Q_O2 (в литературе этот параметр часто сокращенно обозначают OUR). Если зависимость Q_O2 от времени определена и если принять, что коэффициенты M_O2/х и Y_X/O2 постоянны, то после интегрирования уравнения (10.7) получим

(10.8)

Теперь с помощью этого уравнения можно по найденной зависимости Q_O2(t)определить зависимость x(t), а затем по уравнению (10.7) найти скорость роста dx/dt и удельную скорость клеточного роста.

Прежде чем применять описанный метод расчета к конкретному процессу, необходимо определить стехиометрические параметры утилизации кислорода. Для этого проинтегрируем уравнение (10.7) по времени и после преобразований получим [29]

(10.9)

Если величины Q_O2 и x(t) определены в независимом автономном эксперименте, то параметры M_O2/X и Y_X/O2 можно найти по графику зависимости левой части уравнения (10.9) от выражения, стоящего в квадратных скобках правой части того же уравнения.

Забриски и Хамфри [36] описанным методом изучали периодические культуры нескольких видов микрооргаинзмов. На рис. 10.18 представлены результаты изучения роста культур Streptomyces (a) и Saccharomyces cerevisiae (б), приведены величины экономических коэффициентов и коэффициентов поддержания для каждой культуры, а также коэффициент отклонения v экспериментальных данных (точки) от концентрации биомассы, рассчитанной по уравнению (10.8) (непрерывная кривая).

РИС. 10,18. Экспериментально найденная (точки) и вычисленная (сплошная кривая) зависимости изменения концентрации биомассы от времени в периодических культурах Streptoinyces sp. (а) и Saccharomyces cerevisiae (б). [Воспроизведено с разрешения из статьи: Zabriskie D. W., Humphrey А. Е., Real-Time Estimation of Aerobic Batch Fermentation Biomass Concentration by·Component Balancing; AIChE J., 24, 138 (1978).]

 

Очевидно, что соответствие между экспериментальными и расчетными данными очень хорошее в случае культуры Streptomyces. Что же касается S. cerevisiae, то здесь наблюдаются заметные количественные расхождения между найденными и вычисленными величинами. Дело в том, что в последней культуре экспериментально обнаружено явление диауксии, отражающейся на общей скорости клеточного роста, но не учитываемой в расчетах по уравнениям материального баланса. Расхождения между найденными и вычисленными величинами объясняли изменением M_O2/X и Y_X/O2, сопровождающим вариации в характере метаболизма утилизации глюкозы в ходе микробиологического процесса [36].

Приведенный пример можно считать типичным для большого числа методов анализа данных на основе уравнений общего материального баланса. Эти методы успешно выполняют роль связующего звена между непосредственно измеряемыми параметрами и важными переменными процесса, определяемыми путем расчета. Возможные трудности здесь могут быть связаны с накоплением погрешностей.

Общие методы оценки состояния процесса, т. е. методы определения переменных, входящих в дифференциальные уравнения соответствующей математической модели, разработаны специалистами в области систем управления и прикладной математики. Как и рассмотренные выше методы на основе уравнений материального баланса, эти более совершенные методыучитывают известные взаимосвязи между переменными процесса. В то же время в общих методах оценки состояния процесса учитываются и шумовые эффекты и размножение ошибок, т. е. математический аппарат этих методов базируется на теории стохастических процессов.

Изучение современных способов многомерного оценивания переменных, например модифицированного фильтра Калмана, не входит в нашу задачу. Мы ограничимся лишь тем, что отметим некоторые особенности фильтра Калмана, имеющие особенно большое значение при его использовании для управления биореакторами, которые были выявлены Саном и Стефанопулосом в ходе теоретических и экспериментальных исследований [37, 38].

1. Оценка быстро и точно реагирует на изменения параметров процесса.

2. Оценка не чувствительна к погрешностям начальных значений параметров состояния системы.

3. Метод оценки состояния можно непосредственно распространить и на оценку изменяющихся во времени параметров процесса.

4. При работе с оценками такого типа не возникает проблем, связанных с ростом и распространением погрешностей.

На рис. 10.19 представлены результаты проверки предложенного Саном и Стефанопулосом [31] метода оценки состояния системы с помощью модифицированного фильтра Калмана. В этом тесте в математической модели хемостата ступенчато повышали скорость разведения, причем переменные модели были разрушены генерируемым ЭВМ шумом до их оценки. Обусловленное разведением изменение плотности и удельной скорости роста клеточной массы прослеживается с достаточной точностью, скорость разведения превысит μ_max и начнется процесс вымывания.

РИС. 10,19. Сравнение вычисленных на основе математической модели (сплошная линия) и оцененных с помощью устройства оценки на основе модифицированного фильтра Калмана (отмечены крестиками) параметров культуры микроорганизма в ПРПП при последовательном ступенчатом повышении скорости разведения. [Воспроизведено с разрешения из статьи: San K.-Y., Stephanopoulos G., Studies of On-Line Bioreactor Identification II. Numerical and Experimental Results; Biotech. Bioeng., 26, 1189 (1984).]

 

Данные, полученные путем непосредственного измерения, переменные и параметры процесса, найденные расчетным путем на основе этих данных, дают необходимую для управления процессом информацию. В следующих разделах мы рассмотрим различные способы регулирования параметров находящейся в реакторе системы, обеспечивающие оптимальное течение процесса.