Управление непрерывными процессами

 

При проведении непрерывных процессов возникают специфические проблемы регулирования и особые возможности применения прогрессивных методов управления. В непрерывномпроцессе система обычно должна функционировать в том или ином стационарном состоянии. Одной из основных задач управления непрерывными процессами является сокращение продолжительности стартового периода (или связанных со стартовым периодом расходов). По сути дела, эта задача аналогична задаче оптимизации периодического процесса с тем отличием, что здесь мы должны изменить состояние системы от стартового до рабочего (стационарного) или близкого ему так, чтобы некоторая целевая функция была минимальной. При наличии хорошей модели эту проблему можно решить практически такими же методами, которые мы рассмотрели в применении к оптимизации температурного режима производства пенициллина в периодическом режиме.

Рис. 10.27. Кривые рабочих функций и определение оптимального времени цикла периодических операции (а, б) и процесса, включающего две последовательные периодические операции (в).

 

По завершении стартового периода целью управления процессом обычно является сохранение заданного стационарного состояния. Часто эту задачу удается решить с помощью нескольких регуляторов, каждый из которых управляет одним параметром и работает по принципу обратной связи (см. разд. 10.6). В настоящее время такой подход к управлению непрерывными процессами биохимической технологии применяется очень часто. В то же время опыт других работ по управлению системами и процессами показал, что между различными цепями регулирования могут возникать нежелательные взаимодействия, т. е. регулирование одной переменной процесса с целью уменьшения ее отклонения от заданного значения может вызвать изменения других переменных. В общем случае причина этого явления заключается в том, что многие переменные процесса связаны друг с другом и с несколькими входными данными процесса.

Для решения проблемы взаимодействия между отдельными цепями регулирования предложено несколько подходов. С большей частью из них читатель может познакомиться в приведенной в конце главы литературе; здесь же вкратце будет рассмотрен только метод оптимального многомерного регулирования.

Напомним, прежде всего, что систему или процесс, описываемые уравнением

(10.28)

где c — вектор переменных состояния процесса, a d — вектор входных данных процесса вблизи рабочей точки стационарного состояния (c_s, d_s), удовлетворяющего условию

(10.29)

можно приближенно описать линеаризованным дифференциальным уравнением

(10.30)

где χ и v — отклонения состояния системы и входных данных соответственно (см. разд. 9.2):

(10.31)

(10.32)

Схема многомерного управления базируется на локальном линеаризованном приближенном уравнении (10.30).

Проблема оптимизации при условии, что c(t)или χ(t) остается близким к c_s или к нулю соответственно, математически сводится к нахождению минимума скалярной целевой функции.

(10.33)

где C и R — положительные определенные матрицы. В подынтегральном выражении уравнения (10.33) первое слагаемое имеет вполне определенный физический смысл; в некотором роде оно является мерой отклонения состояния от вектора рабочей точки c_s, а интегрирование суммирует все мгновенные отклонения от заданного режима. Способ выбора C зависит от решения, принятого при проектировании системы управления. Исходя из технологических требований процесса или экономических соображений, можно решить, что важнее предотвратить отклонение одних параметров, а не других. В простейшем варианте C представляет собой единичную матрицу, и тогда первое слагаемое в подынтегральном выражении является просто суммой квадратов всех отклонений переменных состояния.

Слагаемое v^τRv целевой функции иногда называют ценой регулирования, но в отношении к управлению химическими процессами такое определение обычно ничего не говорит о физическом смысле. Это слагаемое выполняет важную математическую и практическую функции; без него оптимальное управление было бы неограниченным и поэтому физически невозможным. Целесообразно рассматривать R как матрицу, определяющую масштаб регулирующего действия, причем большие значения нормы матрицы R отвечают меньшим отклонениям входных данных процесса от номинальных значений, принятых для расчетных условий стационарного состояния.

С помощью принципа максимума (разд. 10.7.1) можно показать, что регулирование, связанное с минимизацией J в уравнении (10.33) при условии, что взаимосвязи между регулированием и состоянием системы описываются уравнением (10.30) (которое часто называют линейно-квадратичной задачей оптимального управления) , можно свести к уравнению

(10.34)

где постоянная во времени матрица M удовлетворяет следующему нелинейному алгебраическому уравнению:

(10.35)

Таким путем мы пришли к интересному результату; действительно, уравнение (10,34) имеет форму уравнения многомерного управления с обратной связью. Следовательно, регулируемые параметры здесь выражаются через имеющиеся в данное время значения переменных состояния системы.

Если переменную состояния нельзя измерить непосредственно, то соответствующие значения можно найти с помощью одного из рассмотренных выше методов анализа данных. Здесь особенно удобны методы типа фильтра Калмана, поскольку математический аппарат, используемый для расчета фильтра, близок аппарату для расчета оптимального многомерного управления с обратной связью. В работе [46] описаны результаты сравнительного изучения mуправления модельным микробиологическим процессом с помощью регуляторов с прямым измерением параметров состояния, а также с помощью расчетных данных, полученных на основе фильтра Калмана.

Фэн, Эриксон и сотрудники [47] с помощью математических моделей изучали отклик одного биологического ПРПП, кинетика роста клеток в котором описывается уравнением Моно с учетом метаболизма поддержания жизнедеятельности клеток. Для управления скоростью потока через реактор применяли метод оптимального регулирования только что рассмотренного типа, а в основу, расчетов были положены результаты измерения концентраций субстрата и биомассы в выходящем из реактора потоке. При этом принималось, что матрицы управления Q и R равны (скалярная матрица)

(10.36)

При постоянной R увеличение одного или двух отличных от нуля составляющих Q соответствует усилению регулирующего действия.

На рис. 10.28 отображены изменения объемной скорости потока (регулируемый входной параметр или управляемая переменная) и соответствующие изменения относительных концентраций клеток и субстрата в вытекающем из реактора потоке при повышении концентрации питательных веществ на 12,5% за период от относительного времени t=0 до относительного времени t=2. Цифры на кривых отвечают различным величинам q₁₁ при постоянном q₂₂=1000. Обратите внимание на то, что при повышении q₁₁ регулируемая переменная изменяется в большей степени, отклонения относительной концентрации субстрата (y₁) на выходе из реактора уменьшаются, а флуктуации относительной концентрации биомассы (y₂) возрастают. Если q₁₁ оставить постоянным, а q₂₂ повышать, то усиление регулирующего действия в процессе возмущения приведет к снижению отклонений y₂ и к повышению отклонений y₁. Отсюда следует, что отклик и эффекты регулятора можно варьировать в соответствии с требованиями процесса.

 

Другой возможной целью управления непрерывным процессом является стабилизация стационарного состояния, неустойчивого в отсутствие регулирования. В этой связи можно привести два недавно описанных в литературе примера. Если рост организмов на метаноле в ПРПП ингибируется субстратом, то соответствующие модели допускают существование в некоторых условиях трех стационарных состояний. ДиБиасио, Лим и Вейганд [48, 49] показали теоретически и подтвердили экспериментально, что применение пропорционального управления позволяет добиться устойчивой работы реактора в промежуточном нестабильном стационарном состоянии. Измеряемым параметром в данном случае было помутнение культуры, а регулируемой переменной — скорость введения субстрата.

Хотя при эксплуатации проточных реакторов обычно стараются добиться работы в определенном стационарном состоянии, в ряде теоретических и экспериментальных работ было показано, что в некоторых случаях лучшие эксплуатационные характеристики можно получить в динамическом режиме, создаваемом изменением скорости подачи питательных веществ или условий процесса [50]. Из динамических режимов наиболее широко изучались колебательные режимы, включающие периодическое изменение определенных входных параметров и соответствующие периодические колебания переменных системы. В основе возможности улучшения эксплуатационных характеристик процесса путем намеренного перехода к нестационарному состоянию лежит очень простой принцип: в переходном состоянии состав клеток и среды, а также скорости реакций могут

существенно отличаться от соответствующих характеристик любого стационарного состояния, когда состав смеси определяется стехиометрией процесса. Показано, например, что создаваемые искусственно периодические флуктуации параметров процесса позволяют повысить выход цитохрома в культуре Candida utilis, водорода в биофотолитическом процессе, катализируемом Anabaena cylindrica, а также модифицировать макромолекул яр ный состав Е. соli [51].

 

РИС. 10.28. Результаты моделирования управления микробиологическим ПРПП методом оптимального линейно-квадратичного регулирования. На кривых цифрами обозначены значения параметра qn, а штриховые линии соответствуют величинам относительной концентрации субстрата (y₁=s/s_fs) и относительной концентрации биомассы (y₂=x/Y_X/sSfs) в стандартном стационарном состоянии. Во всех случаях принято, что параметр q₂₂ равен 1000. [Воспроизведено с разрешения из статьи: Fan L. Т., Shah Р. S., Регеіга N. С., Erickson L. £., Dynamic Analysis and Optimal Feedback Control Synthesis Applied to Biological Waste Treatment; Water Research, 7, 1609 (1973).]

 

Как мы увидим далее в гл. 13, рост двух различных организмов, конкурирующих за общее лимитирующее рост питательное вещество, обычно приводит к вымыванию одного из штаммов. Хэтч, Кэдмен и Уайлдер [52] путем моделирования показали, однако, что с помощью пропорционального алгоритма управления, согласно которому скорость добавления питательных веществ и общая скорость разведения регулируются в соответствии с найденными плотностями клеток двух штаммов, может быть достигнуто устойчивое стационарное состояние, в котором оба штамма сосуществуют. Далее эти исследователи экспериментально показали возможность быстрого определения концентраций как Candida utilis, так и Corynebacterium glutamicum методом цитометрии в потоке (путем измерения рассеяния света).