Динамические модели
В основу изучения динамики процессов в ПРПП может быть положено уравнение материального баланса (7.4), преобразованное в соответствующее уравнение для нестационарного состояния:
Тогда для компонента і в реакторе с полным перемешиванием получим:
(9.26)
Если считать плотности потока исходных веществ и содержимого реактора равными, то при одинаковых объемных скоростях на входе в реактор и на выходе из него объем содержимого реактора будет постоянным и уравнение (9.26) можно привести к такому виду;
(9.27)
Это уравнение материального баланса по компоненту і в нестационарном состоянии является отправным пунктом при изучении динамики процессов в реакторе. Прежде чем приступить к изучению некоторых общих математических приемов, успешно используемых при анализе динамики процессов в реакторах, следует привести ряд новых доводов, подтверждающих обоснованность применения модели ПРПП для соответствующих расчетов. Дело в том, что здесь мы сосредоточим внимание только на явлениях перемешивания, а соответствующую модель кинетики биологических превращений для анализа процессов в переходном состоянии рассмотрим позднее. Как мы уже упоминали в гл. 8, одним из важных параметров перемешивания является время циркуляции. Этот параметр приближенно характеризует время, необходимое, чтобы элемент жидкости, циркулирующий в соответствии с существующей в реакторе структурой течений, возвратился в тот же участок объема реактора. Этот параметр применим к ПРПП только в том случае, если время циркуляции мало по сравнению с масштабом времени других процессов в ПРПП.
При изучении динамики процессов в ПРПП появляется необходимость во введении нового параметра времени. Действительно, теперь мы сталкиваемся с возможностью изменения во времени скорости ввода или концентрации питательных веществ. Тогда приближение идеального перемешивания будет справедливым только в том случае, если время циркуляции будет намного меньше характерного масштаба времени флуктуаций в составе поступающего в реактор потока исходных веществ или любых других веществ, например раствора основания, с помощью которого поддерживается необходимое значение рН. Все сказанное относится и к только что рассмотренным идеальным реакторам периодического действия с добавлением субстрата.
Уравнение (9.27) применимо к любому компоненту, рассматриваемому в модели биореактора. Следовательно, в самом общем (и самом сложном) случае динамическая модель реактора должна состоять из системы уравнений типа уравнения (9.27), каждое из которых обычно связано с другими через параметры скоростей образования . Таким образом, в общем случае скорость образования компонента і зависит от концентраций всех других компонентов в реакторе. Чтобы не записывать большое количество уравнений, здесь удобно воспользоваться методами векторного исчисления и матричной алгебры. В дальнейшем строчными жирными буквами (например, с) мы будем обозначать векторы, а прописными жирными буквами (например, А) — матрицы. Тогда систему уравнений, состоящую из уравнений типа (9.27), можно записать в форме:
(9.28)
Здесь c — вектор концентраций m-го измерения (m — число элементов или компонентов; m-вектор), которое равно числу компонентов, рассматриваемых в модели; p — q-вектор параметров модели (в том числе концентраций питательных веществ, скорости разведения, кинетических параметров); i-й компонент векторной функции f равен правой части уравнения (9.27).
Поскольку описываемая уравнением (9.28) система в общем случае нелинейна, то при ее анализе без тех или иных приближений обычно не удается продвинуться очень далеко. Часто сновной интерес представляют динамические свойства системы вблизи какого-либо конкретного стационарного состояния cs. В системе уравнений (9.28) вектор концентраций в стационарном состоянии должен удовлетворять условию:
(9.29)
Можно попытаться определить поведение системы вблизи cs путем разложения правой части уравнения (9.28) в ряд Тейлора относительно cs, пренебрегая всеми членами второго и высщего порядков в отклонениях ci(t)—cis поскольку они должны быть малы. Тогда мы получим следующее приближенное линейное описание нашей системы:
(9.30)
где х(t)—вектор отклонений от стационарного состояния cs
(9.31)
Элемент aij в і-м столбце матрицы A определяется выражением:
(9.32)
Следует подчеркнуть, что А отвечает какому-либо конкретному стационарному состоянию. Для некоторых систем при данном рхарактерно несколько стационарных состояний, каждому из которых отвечает своя матрица А.
Определение динамических свойств линеаризованной системы не представляет особых затруднений, поскольку все решения уравнения (9.30) обычно имеют форму:
(9.33)
Параметры βi и λi представляют собой соответствующие пары собственных векторов и собственных значений А. Таким образом, условию λ = λi удовлетворяет следующее характеристическое уравнение;
(9.34)
Здесь I — единичная матрица, а βi удовлетворяют
(9.35)
Символом αi обозначены константы, выбранные таким образом, чтобы они отвечали заданным начальным условиям; следовательно, они удовлетворяют алгебраическим уравнениям
(9.36)
где х(0)—заданный вектор начальных отклонений.
Описанная линеаризованная динамическая модель реактора представляет собой систематическую основу для оценки характерных времен отклика системы. Что касается рассматриваемой здесь локальной динамики, то из уравнения (9.33) следует, что масштаб времени затухания возмущений относительно стандартного стационарного состояния cs характеризуется собственными значениями λi матрицы А. Таким образом, для локального поведения системы свойствен спектр характерных времен, приближенно описываемых уравнением:
(9.37)
Этими значениями можно пользоваться, например, для сравнения относительных масштабов времени изменений в реакторе и в поступающих в реактор потоках.
Хотя уравнение (9.37) позволяет систематически и локально достаточно строго оценить масштабы времени, полученным таким путем оценкам трудно приписать определенный физический смысл. Собственные значения λi в общем случае являются функциями всех переменных, входящих в матрицу А, и как таковые зависят от всего вектора стационарного состояния cs и всего вектора параметров р. В такой ситуации трудно сравнивать масштабы времени перемешивания, реакции и других взаимодействий в системе. Можно показать, что в случае ПРПП собственные значения имеют форму -D+ (значение, характерное для данной сети реакций)*.
* Fjeld М., Asbjørnsen О. А., Âstrom К. J.. Reaction Invariants and their Importance in the Analysis of Eigenvectors, State Observability, and Controllability of the Continuous Stirred Tank Reactor; Chem. Eng. Sci., 29, І917 (1974).
Эта закономерность в каком-то смысле может оказаться полезной, но тем не менее она не позволяет выяснить сложные зависимости между другими параметрами и λi. Поэтому для разработки достаточно обоснованных и в то же время математически не вполне строгих подходов к оп ределению различных характерных масштабов длины и времени необходимы прежде всего здравый смысл, большой опыт и своего рода искусство. Впрочем, в химической технологии хорошо известен систематический подход к решению таких задач, основанный на переводе всех уравнений системы в безразмерную форму с последующими преобразованиями, позволяющими определить безразмерные параметры, которые характеризуют поведение системы. Часто в качестве базразмерных параметров используют отношения масштабов характерных длин или времен.