Устойчивость

 

В этом разделе мы рассмотрим зависимость динамических характеристик системы в реакторе от функции f и ряда заданных значений параметров р. Для нас наибольший интерес здесь будет представлять локальная устойчивость определенного стационарного состояния c_s. Если стационарное состояние локально асимптотически устойчиво, то после небольшого возмущения, вызывающего малые отклонения концентраций компонентов системы от изучаемого стандартного стационарного состояния, они вновь примут исходные значения стационарного состояния. В неустойчивом стационарном состоянии некоторые небольшие возмущения приведут к необратимому отклонению концентраций в системе от значений, характерных для стационарного состояния. Во избежание двусмысленного толкования полезно перевести эти положения на более строгий язык математики.

Мы будем называть стационарное состояние c_s локально асимптотически устойчивым, если lim_t→∞c(t)=c_s при условии, что начальное состояние c₀ достаточно близко к c_s. [Здесь математической мерой близости векторов является евклидова норма, определяемая как

Тогда выражение «c₀ и c_s достаточно близки» означает, что |c₀—c_s| представляет собой достаточно малое действительное число.] Стационарное состояние c_s называют глобально асимптотически устойчивым, если lim_t→∞c(t)=c_s при любом c₀ (за исключением бессмысленных значений, например отрицательный концентраций). Если c_s — неустойчивое стационарное состояние, то некоторые сколь угодно близкие к c_s начальные состояния c₀ будут приводить к зависимости с от t, причем с не будет приближаться к c_s и не будет располагаться скольугодно близко от c_s. Таким образом, состояние неустойчивости характеризуется тем, что при некоторых начальных отклонениях величина отклонения x(t) стремится к росту по сравнению с ее начальным значением.

Локальная устойчивость в большинстве случаев определяется собственными значениями λ_i матрицы А [уравнение (9.32)]. Стационарное состояние c_s локально асимптотически устойчиво, если действительная часть всех собственных значений Аотрицательна;

(9.38)

Напротив, c_s неустойчиво, если действительная часть любого собственного значения А положительна:

(9.39)

Эти выводы легко понять, если обратиться к уравнению (9.33). В самом деле, если наибольшая действительная часть собственных значений системы равна нулю, то мы имеем дело с критическим состоянием и для определения локальных динамических характеристик системы необходим дальнейший анализ (см., например, работу [10]). К счастью, для проверки указанных выше неравенств нет необходимости рассчитывать все собственные значения. Можно, например, преобразовать определитель уравнения (9.34) в алгебраическое уравнение m-го порядка:

(9.40)

Теперь можно применить критерий Гурвица*, который устанавливает, что все корни уравнения (9.40) имеют отрицательные действительные части в том и только в том случае, если удовлетворяются следующие условия (9.41):

(9.41)

* Walter С. F., Kinetic and Biological and Biochemical Control Mechanisms,

p. 335 in Biochemical Regulatory Mechanisms in Eucaryotic Cells, Kun E., Gri-

sola S. (eds.), John Wiley and Sons, Inc., New York, 1972.

 

В качестве примера рассмотрим ситуацию, когда клеточный рост лимитируется одним субстратом, и изучим динамический вариант модели хемостата Моно. Применение как к биофазе, так и к субстрату общего уравнения материального баланса для нестационарного состояния [уравнение (9.27)] и использование уравнения Моно [уравнение (7.10)] для удельной скорости роста клеток приводит к следующим выражениям:

(9.42а)

и

(9.42б)

При стерильности исходных питательных веществ (x₀=0) возможны два стационарных состояния, одно из которых (нетривиальное) описывается уравнениями (7.14) и (7.15), а другое отвечает состоянию вымывания (x₀=0; s=s₀). Определив устойчивость каждого из этих стационарных состояний, можно определить, какое из них будет наблюдаться в проточной культуре. Локальную устойчивость можно изучать с помощью линеаризованных уравнений типа (9.42). Результаты такого изучения локалькой стабильности в хемостате Моно приведены ниже:

Из этого анализа следует также, что концентрации компонентов системы не могут достигать величин, соответствующих; стационарному состоянию, в режиме затухающих колебаний. Поскольку подобные колебательные изменения концентраций наблюдались экспериментально, то описываемая модель системы субстрат — клетка, очевидно, не может предсказывать все динамические особенности этой системы в некоторых специфических условиях.

Известны и другие недостатки динамической модели хемостата Моно. Так, она предсказывает мгновенный отклик удельной скорости клеточного роста на изменение концентрации субстрата, а в эксперименте обнаружена лаг-фаза (см. упражнение 10.6).

РИС. 9.6. Устойчивые колебания концентрации пирувата (жирные точки) в непрерывной культуре Е. соli. Обратите внимание на то, что концентрация клеток (отмечена крестиками) остается приблизительно постоянной. [Воспроизведено из статьи; Sikyta В., Continuous Cultivation of Microorganisms; Suom. Kemistil., 38, 180 (1965).]

 

Кроме того, экспериментально наблюдались гистерезис скорости клеточного роста и нестабильность экономического коэффициента, а в некоторых экспериментах обнаружены и устойчивые колебания концентраций (рис. 9.6). Следовательно, модель хемостата Моно, в ряде случаев вполне приемлемая для анализа стационарных состояний, имеет многочисленные недостатки, когда речь идет об изучении динамики процессов.

Некоторые явления, которые нельзя объяснить при помощи модели Моно, могут быть учтены путем введения в модель дополнительных переменных (посредством ее «структурирования»). В таких случаях необходимость структурированных моделей обусловливается некоторыми соображениями общего порядка, упоминавшимися ранее в гл. 7 и во введении к этой главе. В переходном состоянии приближение сбалансированного роста не применимо, если масштаб времени изменений в среде сравним с масштабом времени биологического отклика (например, посредством индукции или репрессии синтеза ферментов). В таких случаях кинетическую биологическую модель необхо димо расширить, включив в нее большее число компонентов (или псевдокомпонентов; разд. 7.4) клеточной фазы.

В разд. 7.4.1 мы уже познакомились с двухкомпонентной структурированной моделью Уильямса. В применении к динамике роста проточных культур эта модель воспроизводит некоторые наблюдаемые в эксперименте особенности систем, не отражаемые моделью Моно. Расширяя аналогию между уравнением Моно для клеточного роста [уравнение (7.10)] и уравнениями кинетики ферментативного катализа, Джеффресон и Смит включили в свою динамическую модель хемостата промежуточные компоненты, в известной степени отвечающие фермент-субстратным комплексам [11]. В модели Рамкришны, Фредриксона и Цучии учтено ингибирование клеточного роста [12]. В каком-то смысле такой подход можно рассматривать как структурирование фазы питательного вещества.

Совершенно другой подход применили Ли, Джекман и Шрёдер, изучавшие влияние флокуляции клеток на процесс их роста [13]. Мы уже указывали, что во многих микробных системах индивидуальные клетки образуют скопления (иногда называемые флокулами или хлопьями). Считается, что в таких скоплениях метаболические процессы могут отличаться от аналогичных процессов в отдельных диспергированных клетках. Действительно, для того чтобы питательные вещества могли войти в контакт с клетками, расположенными внутри скоплений, они должны сначала диффундировать внутри этих скоплений. Поэтому биофаза рассматривается как двухкомпонентная система (скопления клеток и индивидуальные клетки), в которой каждый компонент характеризуется своей кинетикой и в которой в то же время возможен обмен отдельными клетками между двумя морфологически различными формами. Эта модель отражает флуктуации общего экономического коэффициента, гистерезис скорости роста и характеризуется замедленным откликом по сравнению с моделью Моно. Вообще такая модель гораздо лучше согласуется с экспериментальными данными, чем модель Моно.

Для модели Янга, Брюли и Бангэя характерен другой подход [14]. Эти исследователи предположили, что в силу сопротивления процессам массопередачи, обеспечивающим клетку питательными веществами, концентрация субстрата внутри клетки не равна концентрации питательного вещества в среде, причем на скорость роста клетки непосредственно влияет именно первая величина. Основанная на таком подходе модель отражает часто наблюдаемую в эксперименте лаг-фазу после изменения условий среды.

В завершение нашего обзора динамики процессов в хемостатс отметим еще один потенциально важный фактор, не учитываемый моделью Моно. Если клеточный рост ингибируется избытком питательного вещества, то для удельной скорости роста клеток следует применять уравнение (7.32):

Поведение системы в хемостате, в котором удельная скорость клеточного роста определяется этим уравнением, может существенно отличаться от поведения системы в классическом хемостате Моно: теперь в некоторых условиях могут наблюдаться три стационарных состояния. Динамическое поведение такой системы может быть весьма сложным, а вклад нелинейных эффектов, не учитываемых в анализе локальной устойчивости, очень велик. Предполагалось, что эта модель с ее необычными характеристиками окажется полезной в объяснении ряда трудностей, возникающих обычно в процессах анаэробной переработки отходов. Некоторые другие проблемы, связанные с эффектами субстратного ингибирования в ПРПП, будут рассмотрены в гл. 14.

Сложное динамическое поведение может быть характерным и для смешанных культур, состоящих из клеток различных видов. Биологические превращения в подобных системах мы рассмотрим детальнее в гл. 13. Там же мы познакомимся с другими общими математическими методами и результатами их применения в анализе и в описании динамики процессов в реакторах.