Применение модели Лотки — Вольтерры к системам, состоящим из многих видовvb

 

Экологов интересует изучение взаимосвязей между степенью сложности системы и ее динамическим поведением. В частности, очень большой интерес представляют ответы на вопрос, будет ли система более устойчивой или менее устойчивой, и будут ли для нее характерны колебания численности популяций при возрастании числа видов или числа и интенсивности межвидовых взаимодействий. Подобные проблемы мы рассмотрим детальнее в разд. 13.5; здесь же ограничимся анализом предложенной Мэем [5] обобщенной модификации модели Лотки — Вольтерры.

Для системы с N видами жертв и N видами хищников по аналогии с уравнениями (13.9) и (13,10) можно записать

(13.25)

где n₁,…, n_N — численности популяций N видов жертв, а m₁,…, m_N — численности популяций N видов хищников. Пусть α — матрица с элементами α_ij, β — матрица с элементами β_ij, а — вектор столбца с элементами a_i, а b — вектор столбца с элементами b_і. Тогда в системе, описываемой уравнениями (13.25), численность популяций в стационарном состоянии n_1s,…, n_Ns, m_1s,…, m_Ns должна удовлетворять условию

(13.26)

где n_s и m_s — векторы с элементами n_is и m_is соответственно.

Если попытаться оценить матрицу сообщества 2NX2N для этой системы, то результат можно будет представить следующим образом:

(13.27)

где

(13.28)

а элементы 0 в (13.27) обозначают нулевые матрицы NXN. Интересные сведения о стабильности этой системы можно получить на базе следующих общих формул матричной алгебры. Для произвольной матрицы C (qXq)

(13.29)

где σ_i — собственные значения C. Поскольку след матрицы A в выражении (11.40) равен нулю, то из уравнения (13.29) следует

(13.30)

Что касается собственных значений λ_i, то отсюда вытекают две возможности. Во-первых, они могут быть равны нулю или парам сопряженных мнимых чисел. Хотя этот вывод справедлив для первоначальной модели Лотки — Вольтерры типа один хищник— одна жертва, он маловероятен при большом N. Другая возможность заключается в том, что, по меньшей мере, часть собственных значений A существует в форме c+id, —c—id при c≠0. В этом случае, по меньшей мере, одно собственное значение имеет положительную действительную часть и стационарное состояние неустойчиво. Следовательно, в общем случае, согласно результатам этого анализа, усложнение системы хищник— жертва должно приводить к ее дестабилизации.