Изучение динамики популяций с помощью моделей в форме закона действующих масс

 

В оставшейся части раздела 13.5 мы рассмотрим некоторые теоретические методы анализа и изучения сложных взаимодействующих популяций. Следует подчеркнуть, что большинство рассматриваемых здесь методов и результатов применимо к изучению сложных систем биологических реакций. Действительно, исходным пунктом для создания экологических моделей часто является допущение о существовании ряда микробиологических «реакций» типа учитываемых в уравнении (13П3.4).

Изложенный в этом разделе методический подход имеет в основном химическую ориентацию; ниже мы рассмотрим пример применения такого подхода к моделированию роста микроорганизмов.

Предположим, что в изотермической гомогенной системе постоянного объема, к которой добавляют компонент B в таком количестве, чтобы его концентрация оставалась постоянной, происходят следующие реакции:

(13.35)

Допустим, кроме того, что каждая из этих реакций элементарна, т. е. кинетика реакции непосредственно связана с ее стехиометрией. Следовательно, для системы реакций (13.35) можно записать

(13.36)

Поскольку мы условились считать концентрацию B постоянной во времени, то в нашем анализе соответствующий параметр можно не учитывать. В связи с этим введем новый параметр

(13.37)

При этом условии r₁ равно:

(13.38)

Теперь уравнения материальных балансов по A₁ и A₂ можно записать в форме

(13.39)

(13.40)

Сравнение с уравнениями (13.9) и (13.10) показывает, что уравнения (13.39) и (13.40) по форме соответствуют модели Лотки — Вольтерры.

Теперь перейдем к рассмотрению некоторых в высшей степени общих и очень полезных теорем, применимых к изучению кинетики систем, формально описываемых законом действующих масс. Результаты такого изучения часто позволяют на основе только лишь алгебраической структуры сети реакций сделать вывод, что данная система имеет одно стационарное состояние, характеризующееся глобальной асимптотической устойчивостью. Здесь термин «алгебраическая структура» относится только к путям превращения видов и способам их взаимодействия в сети реакций; полученные таким путем результаты можно применять независимо от констант скоростей реакций и других параметров.

Изучение соответствующей теории, разработанной Хорном, Фейнбергом и Джексоном [9], невозможно без знакомства с некоторыми новыми понятиями и определениями. Для этой цели удобнее обратиться к ряду примеров. В табл. 13.6 приведены некоторые гипотетические механизмы, два из которых представляют интерес для биологических исследований. Нетрудно видеть, что механизм 3 эквивалентен модели Лотки — Вольтерры, а механизм 6 соответствует одной из моделей гликолиза. (Можете ли вы отнести компоненты A₁—A₇ к определенным соединениям, участвующим в метаболическом пути гликолиза?)

 

Таблица 13.6, Примеры механизмов реакций, иллюстрирующих принципы и определения, которые используются в моделях в форме закона действующих масс^а

Нулевые символы в этой таблице имеют следующий смысл: 0→A_j означает, что компонент A_j добавляют к системе с постоянной скоростью. Такая ситуация может возникнуть, например, при добавлении субстрата в потоке исходных веществ к системе, находящейся в хемостате. Символ A_k→0 означает, что A_k отбирают из системы со скоростью, пропорциональной его концентрации; такая ситуация типична, например, для частичного вымывания вида из хемостата или для процессов отмирания вида. Таким образом, символ 0, используемый для обозначения взаимосвязей с окружением системы, позволяет применять модели в форме закона действующих масс к открытым системам.

Теперь мы должны дать определения трем параметрам (выражаемым целыми числами) механизмов реакций. К этим параметрам относятся: n_c — число комплексов в механизме; n_i —

число типов связей в механизме; n_s — размерность механизма. Для каждого из этих параметров необходимо дать соответствующее определение. Во-первых, комплексом называют элемент, стоящий в начале или в конце стрелки, соответствующей данной реакции. Например, механизмы (1) и (2) в табл. 13.6 имеют три комплекса—2A₁, A₂ и A₃+A₄, так что в этом случае n_c = 3. Механизм модели Лотки — Вольтерры (3) имеет n_c = 6 (A₁, 2A₁, A₁+A₂, 2A₂, A₂ и 0), а в механизмах 4 и 5 имеется пять комплексов (n_c = 5; A₁, A₂, A₁+A₃, A₄, A₂+A₅).

Переходя к типам связей, не следует обращать внимание на направление стрелок; здесь необходимо рассматривать только комплексы, связанные стрелкой соответствующей реакции. Например, рассматривая механизм 1, нетрудно заметить, что таким образом непосредственно связаны комплексы 2A₁ и A₂. Кроме того, хотя комплекс A₂ непосредственно связан с комплексом A₃+A₄, можно сказать, что комплексы 2A₁ и A₃+A₄ связаны косвенно, поскольку от одного комплекса к другому можно перейти только через несколько непосредственно связанных стадий. Тип связи представляет собой ряд комплексов, связанных друг с другом или непосредственно, или косвенно, так что ни один комплекс в ряду не связан ни с каким другим комплексом, не входящим в этот ряд.

Из сказанного следует, что механизм 1 имеет один тип связи {2A₁, A₂, A₃+A₄}; следовательно, для этого механизма n_l=1. Тот же самый тип связи характерен и для механизма 2. Механизмы 4 и 5 (n_l==2) имеют два типа связей — {A₁, A₂} и {A₁+A₃, А₄, А₂+А₅}, а механизм 3 {n_l = 3)—три типа, а именно {А₁, 2А₁}, {А₁+А₂, 2А₂}, {А₂, 0}.

С понятием о типах связей связана концепция слабой обратимости. Чтобы дать определение этому понятию, рассмотрим направление стрелок реакции и зададимся следующим вопросом: если есть указываемый стрелкой путь, ведущий от одного комплекса к другому, то существует ли и указываемый стрелками путь, ведущий от второго комплекса к первому? Если ответ на этот вопрос положителен для любой пары комплексов механизма, то такой механизм называют слабообратимым.

Примером слабообратимого механизма может служить механизм 2 в табл. 13.6. От комплекса А₃₊А₄ к комплексу 2А₁ можно перейти в одну стадию, а возвратиться от 2А₁ к А₃+А₄ можно в две стадии через А₂. Более того, аналогичные аргументы применимы к каждой паре комплексов механизма. Рассуждая аналогичным образом, можно показать, что механизмы 1, 3, 4, 6 не относятся к числу слабообратимых, тогда как механизм 5 является таковым.

Прежде чем перейти к основным теоремам, необходимо рассмотреть еще один вопрос. Для каждой реакции (т. е. для каждой стрелки) данного механизма определим вектор реакции. Если в механизме участвует М различных химических компонентов А₁, А₂, А₃,…, А_M (для механизмов 1—5 М = 4, 4, 2, 5, 5 соответственно), то каждый вектор реакции будет иметь М элементов. Эти элементы определяются следующим образом: і-й элемент равен нулю, если A_і не появляется в реакции. Если же в реакции участвует A_і, то і-й элемент является стехиометрическим коэффициентом A;. Этому коэффициенту приписывают отрицательный знак, если A_і находится в начале стрелки, и положительный, если стрелка реакции указывает на A_i.

Например, механизм 1 в табл. 13.6 имеет три стрелки и четыре компонента. Ниже каждая из этих реакций записана в ином виде вместе с соответствующими векторами реакций

Следующий шаг заключается в определении на базе найденных таким путем векторов реакции максимального числа линейно независимых векторов. Это число n_s называют размерностью механизма. Для механизма 1, например, n_s = 2, поскольку указанные v₁ и v₂ линейно независимы, но v₃ зависит от двух первых векторов (v₃+v₂ = 0).

Дав, таким образом, необходимые определения, мы можем перейти к формулировке теоремы нулевого ограничения [9]. Предположим, что для данного механизма

(13.41)

Тогда:

1. При любой кинетике, в том числе формально отвечающей закону действующих масс, невозможно ни одно стационарное состояние с положительными концентрациями всех элементов М, ни периодические колебания концентраций, если механизм не является слабообратнмым.

2. Если выполнено условие (13.41), механизм слабообратим и кинетика процесса формально соответствует закону действующих масс, то при всех стехиометрически эквивалентных положительных начальных составах существует одно глобально асимптотически устойчивое стационарное состояние. Этот вывод справедлив независимо от значений констант скоростей.

 

В последнем предложении два термина нуждаются в пояснениях. Термин «положительный» означает, что каждый компонент имеет положительную концентрацию. Под стехиометрически эквивалентными составами понимают такие составы, которые могут быть превращены один в другой путем изменения направления одной или нескольких стрелок в механизме. Так, для реакции стехиометрически эквивалентны следующие начальные концентрации (a₁₀, a₂₀):(2, 4), (3, 2), (1, 6) и так далее до тех пор, пока выполняется условие 2а₁₀+а₂₀=8. Для механизма 1 стехиометрически эквивалентны следующие положительные начальные составы (a₁₀, а₂₀, a₃₀, a₄₀):(2, 1, 1, 1), (3, ½, 1, 1), (2, ½, ½, ½), (2, ½, ½, ½) и т. д.

Возможности этой теоремы в конечном счете зависят от того, сколько механизмов реакций удовлетворяют условию (13.41). Этот вопрос изучался Хорном, который показал, что подавляющее большинство возможных механизмов согласуется с условием (13.41). Следовательно, приведенные в табл. 13.6 примеры в известной мере нетипичны, поскольку только четыре из них (1, 2, 3 и 5) удовлетворяют условию (13.41). Теперь перейдем к изучению возможной сферы применения этой теоремы.

Предположим, что перед нами поставлена задача моделирования смешанной популяции с колебаниями численности видов путем постулирования механизма «реакции» между популяциями, включающего несколько элементарных стадий с кинетикой, соответствующей закону действующих масс. Согласно теореме, для этого механизм должен либо нарушать условие (13.41), либо не обладать слабой обратимостью. Такая ситуация, действительно, типична для механизмов 3 и 6, которые связаны с устойчивыми колебаниями. Поскольку подавляющее большинство механизмов не будет нарушать ни одного условия, то мы можем использовать выводы теоремы для существенного ограничения сферы наших поисков. С другой стороны, согласно второй части теоремы для слабообратимых механизмов, формально соответствующих закону действующих масс и удовлетворяющих условию (13.41), асимптотическая устойчивость в большинстве случаев обеспечивается независимо от типа единственного стационарного состояния или величин скоростей реакций. Следовательно, в таких случаях мы можем обойтись без анализа локальной устойчивости и без поиска путей доказательства устойчивости в глобальном масштабе.

Первая часть теоремы имеет, кроме того, важные экологические следствия. Согласно теореме, если условие (13.41) удовлетворяется, а условие слабой обратимости не выполняется, то в стационарном состоянии концентрации некоторых компонентов будут равны нулю. Таким образом в рамках популяционной динамики эта теория позволяет открыть механизмы, обеспечивающие вымирание по меньшей мере одного вида.

 

Пример 13.4. Применение моделей в форме закона действующих масс*.

* Этот пример заимствован из работы Феннберга и Хорна [9] и предназначен только для иллюстративных целей. Он не обязательно соответствует какой-либо реальной микробиологической или бпохпмнчсскоп системе.

Для иллюстрации возможностей теоремы нулевого ограничения применим ее для изучения динамики системы, описываемой следующим механизмом:

(а)

(б)

(в)

(г)

Будем считать, что кинетика этих «реакций» формально подчиняется закону действующих масс. Комплексами данного механизма являются 3А₁, А₁+2А₂, ЗА₂ и 2А₁+А₂, поэтому n_c = 4. Обратим внимание на то, что этот механизм слабообратимый. Действительно, следуя по стрелкам реакций от «а» до «г», легко обнаружить один путь, соединяющий все четыре комплекса. Таким образом, в данном случае существует только один тип связи и п_і = 1.

Для определения размерности механизма сформируем четыре вектора реакций, каждый из которых отвечает одной стрелке в механизме. Каждый вектор имеет два компонента, поскольку в этой системе участвуют только два вида, А₁ и А₂. Перечислим векторы реакций: v_а=(—2, 2), v_б=(2, —2), v_в=(—1, 1), v_г=(1, —1). Поскольку —2v_в=2v_г=—v_б=v_а, то существует только одна линейно независимая реакция и n_s=1.

Проверив условие (13.41) для нашего механизма, получим n_c—n_l—n_s = 4—1—1 = 2. Таким образом, это условие не выполняется. Следовательно, для данного механизма нельзя исключить возможность колебательных процессов или нескольких стационарных состояний. В самом деле, Фейнберг и Хорн показали, что в этой системе несколько стационарных состояний будут наблюдаться при k_c=k_d=1 и k_a= k_b<1/6