Один из способов изучения стационарных состояний и динамики сложных систем с множеством взаимодействующих видов связан с анализом изменений, индуцированных плавным сдвигом одного из параметров системы (например, концентрации питательного вещества, скорости разведения). Последующие изменения часто имеют качественный характер и включают, в частности, появление новых стационарных состояний или предельных циклов. Кроме того, устойчивые предельные циклы могут стать неустойчивыми, что приводит к усложненному, часто непериодическому поведению системы в переходном состоянии. В предельном варианте соответствующие кривые изменяются почти случайно; в этом случае их называют хаотическими.
Математический анализ этих качественных изменений в динамике систем, обусловленных вариациями одного или нескольких параметров системы, выполняется с помощью методов теории бифуркаций. Важность применения этой теории обусловлена тем обстоятельством, что она позволяет во многих случаях проследить генезис нелинейных характеристик на базе относительно простых линеаризованных расчетов. Здесь мы сможем привести только некоторые концептуальные начала этой теории, а с более подробными описаниями читатель может ознакомиться в литературе, приведенной в конце главы.
В примере 13.1 мы рассматривали метод анализа локальной устойчивости для системы, состоящей из двух видов. Напомним (см. разд. 9.2.2), что в случае системы, состоящей из многих видов, стационарное состояние ns является локально асимптотически устойчивым в том и только в том случае, если все собственные значения матрицы сообщества [уравнение (13.2)] имеют отрицательные действительные части. Любое собственное значение с положительной действительной частью обусловливает неустойчивость стационарного состояния ns.
Теперь предположим, что сначала система имеет единственное локально асимптотически устойчивое стационарное состояние; затем условия (т. е. параметры модели) изменяются и соответственно изменяются собственные значения A. Если стационарное состояние теряет устойчивость, то может возникнуть ряд нелинейных явлений; это означает, что ряд собственных значений матрицы переместится из левой части комплексной плоскости в правую, пересекая при этом воображаемую ось.
Если эту ось пересекает одно собственное значение с нулевой мнимой частью, то наблюдается бифуркация, т. е. появление дополнительных решений системы уравнений, описывающих стационарные состояния. В этом случае колебания маловероятны. С другой стороны, если сопряженная пара собственных значений пересекает воображаемую ось при ±iω, то возникают колебания. Такое явление называют бифуркацией Хопфа. Стационарные состояния или колебания, возникающие при бифуркации, могут быть устойчивыми или неустойчивыми; для решения этой дилеммы необходим дальнейший анализ. Более сложные бифуркации, в которых воображаемую ось пересекают другие сочетания собственных значений, а также бифуркации, связанные с потерей устойчивости предельных циклов, рассмотрены в литературе.