Изменение энергии в системе вызывается разностью прихода и расхода энергии. Учитывая, что энергия может передаваться в форме теплоты и работы можно записать:
E¢ = (Q¢Tпр - Q¢Tрасх) + (A¢пр - A¢расх)
или
dE¢ = dQ¢- dA¢ (2.44)
E¢ - штрих означает, что E отнесена к единице массы.
dА¢ = (А¢пр - А¢расх) работа совершаемая над системой, поэтому перед dА¢ в уравнение (2.44) знак « - ».
Энергия системы складывается из внутренней U, кинетической Eк и потенциальной Еп. Если потенциальная энергия обусловлена полем силы тяжести, то Е¢п = gh:
Е¢ = U¢ + W2/2 + gh (2.45)
Работа может совершаться движущейся средой по преодолению внешнего давления и трения:
dА¢ = d(P/r) + dA¢тр (2.46)
Тогда с учетом (2.45) и (2.46) уравнение (2.44) можно переписать:
dQ¢T = dE¢ + dA¢ = dU¢ + d( ) + + gdh + dA¢тр (2.47)
Рассмотрим частный случай закона сохранения энергии. Для изотермической идеальной жидкости (трение отсутствует, теплообмена с окружающей средой тоже нет) можно записать:
dU¢ = 0, dQ¢T = 0, dA¢тр = 0
Тогда получим:
d( ) + + gdh = 0 (2.48)
После интегрирования получим:
+ + gh = const (2.49)
Это и есть уравнение Бернулли,выражающее закон сохранения механической энергии одиночной массы среды.