Начнем рассмотрение интересующих нас особенностей динамики потока с анализа поведения элементарной струйки идеальной жидкости (одномерное течение – рис. 30). Параметры струйки в этом случае изменяются по длине пути, а также по времени, т.е.
υ = υм(ℓ, t),p = p (ℓ, t).
Выделим элемент струйки длиной dℓ и площадью сечения dS. Применим основной принцип динамики для выделенного элемента: сумма сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение. Запишем соответствующее уравнение в проекции на касательную к оси элементарной струйки:
,(*)
где Р – результирующая сила давления, G – сила тяжести.
Поскольку P = P1 – P2, то
dP = dP1 - dP2.
При этом dP1 = p · dS,
Рис. 30. Структурно-динамическая схема
неустановившегося движения элементарной
струйки идеальной жидкости
Отсюда
Кроме того, dm = ρ · dV = ρ · dS · dℓ → dG = dm · g = ρg · dS · dℓ.
Cosα определим из прямоугольного треугольника, где dz – катет, прилежащий к углу α, представляет собой изменение геометрического напора по длине dℓ, т.е.
Здесь отрицательно, поскольку z уменьшается по длине ℓ.
Запишем полную производную в развернутой форме:
После подстановки всех полученных выражений в основное уравнение (*) получаем:
После сокращения dS, замены υм∙∂υм на ∂(υм2/2) и переносов:
Интегрируем вдоль пути элементарной струйки от сечения 1 – 1 до сечения 2 – 2 и делим на ρg:
После интегрирования и перегруппировки членов уравнения получаем:
Из сравнения полученного выражения с уравнением Бернулли для установившегося движения элементарной струйки идеальной жидкости следует, что они отличаются наличием в правой части данного уравнения слагаемого, которое называется инерционным напором:
Физический смысл инерционного напора – это работа сил инерции, отнесенная к единице веса жидкости.
∂υм/∂tпо своему смыслу представляет локальное(местное) ускорение, при этом знак инерционного напора определяется знаком ускорения, а его величина – особенностями геометрии и условий движения потока на отрезке [0, ℓ].
Переходя к потоку вязкой жидкости (используя для этого метод, изложенный ранее), получаем:
Типичными примерами неустановившегося движения жидкости, при котором возникает инерционный напор, являются поведение потока по мере открытия или закрытия запорных устройств, а также движение потока во всасывающей и нагнетательной линиях поршневого насоса. При анализе процессов всасывания и нагнетания поршневого насоса обязательно необходимо учитывать влияние инерционных сил (инерционного напора).