Производная –этопредел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием
,
где – приращение функции на величину .
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные временно постоянны. Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменнойx называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная производная по x следующим образом:
Аналогично частной производной функцииz = f(x, y) по переменнойy называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения: .
Выполнение заданий предполагает безусловное знание следующих основных правил дифференцирования.
1. Производная суммы дифференцируемых функций равна сумме производных:
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
,
где C – const.
3. Если и - дифференцируемые функции, то существует производная их произведения, которая вычисляется по формуле:
.
4. Если и - дифференцируемые функции, то существует производная частного, которая вычисляется по формуле:
, .
Для эффективного дифференцирования сложных функций полезна таблица 3.1. основных элементарных функций, аргумент которых есть тоже функция. Итак, пусть , где . Тогда
1. , C – const | 2. , n – const |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. , , , a – const | 14. |
15. , , , a – const | 16. |