ГЕОДЕЗИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПО ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВУ»

КАФЕДРА ГЕОДЕЗИИ И ГЕОИНФОРМАТИКИ

 

ГЕОДЕЗИЯ

ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Для студентов очного и заочного обучения по направлению:

120700 – «Землеустройство и кадастры»

 

Москва 2012

УДК 528

 

Одобрено и рекомендовано к изданию кафедрой геодезии и геоинформатики Государственного университета по землеустройству (протокол № 8 от 7 февраля 2012 г.).

Утверждено к изданию методической комиссией факультета городского кадастра Государственного университета по землеустройству (протокол № 4 от 22. февраля 2012 г.).

 

 

Составители: ст. пр. Ктиторов Э.М., доц., к.т.н. Парамонова Е.Г. , ст. пр., к.т.н. Симонян В.В., ст. пр. Журавлев А.Ф., ст. пр. Каширкин Ю.Ю.

 

 

Рецензент: доц., к.т.н. Лимонов А.Н.

 

Содержание методических указаний соответствует программе дисциплины «Геодезия» и помогает студентам выполнять контрольные работы.

 

Государственный университет по землеустройству, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..4

1. МЕТОДИКА САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ КУРСА……………….5

1.1. Рекомендуемая литература …………...……………………………………..5

1.2. Основные разделы программы курса………………………………………..5

1.3. Рекомендации по изучению и усвоению основных разделов курса………5

2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. ТАХЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СЪЕМКА………….7

2.1. Задание………………………………………………………………………...7

2.2. Вычислительная обработка тахеометрического хода……………………...7

2.3. Вычисление координат точек тахеометрического хода…………………..12

2.4. Вычисление высот точек тахеометрического хода……………………….12

2.5. Вычисление высот съемочных пикетов……………………………………13

2.6. Составление плана участка…………………………………………………14

Вопросы для самопроверки………………………………………………………..16

3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2. ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ИЗМЕРЕНИЙ..…………………………………………………………………..17

3.1. Рекомендации по обработке вычислений…………………………………17

3.2. Оценка точности результатов измерении по истинным погрешностям...17

3.3. Оценка точности функций измеренных величин…………………………20

3.4. Математическая обработка ряда результатов равноточных измерений...25

3.5. Веса измерений и их функций……………………………………………..27

3.6. Математическая обработка ряда результатов неравноточных

измерений………………………………………….………………….…….30

3.7. Оценка точности измерений углов и превышений по невязкам в

полигонах и ходах……………………………………………………...…...34

3.8. Оценка надежности определения среднеарифметического с

использованием доверительных интервалов……………………..………37

3.9. Справочные сведения………………………………………………………38

3.9.1. Округление приближенных чисел…………………………………………38

3.9.2. Точность приближенных чисел…………………………………………....38

3.9.3. Погрешности измерений……………………………………………………38

Вопросы для самопроверки………………………………………………………..39

4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 3. УРАВНИВАНИЕ СИСТЕМЫ

ТЕОДОЛИТНЫХ ХОДОВ С ОДНОЙ УЗЛОВОЙ ТОЧКОЙ..………………41

4.1. Общая постановка задачи…………………………………………………..41

4.2. Исходные данные…………………………………………………………...41

4.3. Последовательность выполнения работы…………………………………42

Вопросы для самопроверки………………………………………………………..47

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………….48

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Методические указания и задания для контрольных ра­бот по курсу “Геодезия” предназначены для студентов очной и заочной форм обучения по направлению: 120700 – «Землеустройство и кадастры».

Студенты-заочники, пользуясь данными методическими указаниями, должны самостоятельно изучить предусмотренные програм­мой разделы курса “Геодезия” по рекомендуемой учебной и справочной литературе и выполнить следующие контрольные работы:

1. Тахеометрическая съемка.

2. Теория погрешностей измерений.

3. Уравнивание системы теодолитных ходов с одной узловой точкой.

Предварительно проверенные преподавателем контроль­ные работы представляются для защиты и получения допус­ка к экзамену в период лабораторно-экзаменационной сес­сии.

На очной сессии студенты прослушивают курс лекций, а также выполняют лабораторные работы по темам: измерение углов и линий в геодезических сетях сгущения; решению задач по теории погрешностей, определению координат отдель­ных пунктов; расчетам координат рамок трапеций топогра­фических карт.

Изучение основных вопросов курса рекомендуется в последовательности, предлагаемой в программе. Контроль­ные работы следует выполнять после усвоения соответствую­щих разделов теории.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

ИЗУЧЕНИЯ КУРСА

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

Основная

1. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю. Г. Геодезия. – М., КолосС, 2006.

2. Неумывакин Ю.К., Практикум по геодезии. – М.; КолосС, 2008.

3. А.Г. Юнусов, А.Б. Беликов, В.Н. Баранов, Ю.Ю. Каширкин, Геодезия. – М. академический Проект, 2011 г.

Дополнительная

5. Инструкция по развитию съемочного обоснования и съемке ситуации и рельефа с применением глобальных навигационных спутниковых систем ГЛОНАСС и… 6. Инструкция по топографической съемке в масштабах 1:5000, 1:2000, 1:1000 и… 7. Основные положения о государственной геодезической сети Российской Федерации. – М., 2004 г.

ОСНОВНЫЕ РАЗДЕЛЫ ПРОГРАММЫ КУРСА

 

Раздел 1. Тахеометрическая съемка.

Раздел 2. Теория погрешностей измерений.

Раздел 3. Общие сведения о построении геодезической се­ти при съемке на большой территории.

Раздел 4. Плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера. Номенклатура листов топографических карт.

Раздел 5. Методы измерения и приборы, применяемые при создании геодезических сетей сгущения.

Раздел 6. Методы определения положения отдель­ных пунктов.

Раздел 7. Уравнивание геодезических сетей сгущения.

 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ И УСВОЕНИЮ

ОСНОВНЫХ РАЗДЕЛОВ КУРСА

 

Раздел 1. Перед выполнением контрольной работы 1 – «Тахеометрическая съемка» необходимо изучить 8.1 – 8.5 учебника [1]. Особое внима­ние должно быть уделено методике проложения и обработки тахеометриче­ских ходов выполненной тахеометрической съемки, и составлению плана по результатам тахеометрической съемки. Исходные данные для выполнения контрольной работы выбираются в табл. 1 (см. приложение). Номер варианта задания равен двум последнимцифрамномера зачетной книжки. Если две последние цифры номера зачетной книжки обозначают число большее пятидесяти, то номер варианта равен двум последним цифрам минус 50. Номер варианта не может превышать 50. Например, если номер зачетной книжки 20023, то номер варианта равен 23. Если номер зачетной книжки 20065, то номер варианта 65-50=15.

Прочитать 8.7 – 8.10 учебника [1] и 11.4.2. [2] чтобы иметь представление об электронных тахеометрах и особенностях выполнения тахеометрической съемки электронными тахеометрами.

Раздел 2. Перед выполнением контрольной работы 2 – «Теория погрешностей измерений»необходимо изучить его по учебнику [1] 9.1 – 9.23.

Следует обратить внимание на определения и формулы вычисления: погрешности, дисперсии, среднеквадратических погреш­ностей (СКП), предельной погрешности, веса, СКП погрешности единицы веса, среднеариф­метического и средневесового. Студент при этом должен четко представлять разницу между равноточными и нерав­ноточными измерениями, знать правила их обработки и оцен­ки точности, уметь использовать общую формулу для оцен­ки точности функций измеренных величин, а также формулы для оценки точности по невязкам в полигонах и ходах.

После изучения теоретических вопросов необходимо освоить решение ти­повых задач раздела 2 данных методических указаний. Только после этого следует приступать к решению контрольных задач, руководствуясь рекомендациями раздела 2.

Разделы 3, 4, 5, 6 изучаются по учебнику [1] (гла­вы 10, 11, 12, 13, 15), [3], [4], [6], [7]. Студент должен разобраться со схемами и методами создания геодезиче­ских сетей, сетей сгущения и съемочных сетей.

При изучении плоских прямоугольных коор­динат Гаусса-Крюгера необходимо обратить особое внимание на во­просы искажения изображений длин линий и площадей, а также разобраться с номен­клатурой топографических карт и планов.

Лабораторные работы по этим разделам курса студент выполняет в период сессии. При этом непосредственно перед проведением лабораторных работ по вычислению коор­динат отдельных пунктов необходимо ознакомиться с разделом 6 настоящих методических указаний.

Раздел 7. Перед выполнением контрольной работы 3 – «Уравнивание системы теодолитных ходов с одной узловой точкой» необходимо по учебнику [1] изучить 18.1, 18.2.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

«ТАХЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СЪЕМКА»

ЗАДАНИЕ

По полевым материалам: журналу тахеометрической съемки и абрисам произвести необходимые вычисления и соста­вить топографический план участка в масштабе 1: 2000 с высотой сечения рельефа горизонталями через 1 м.

Измерения выполнялись теодолитом 4Т30П.

Исходные данные:

– координаты и высоты исходных точек и дирекционные углы начальной и конечной сторон хода выбираются по варианту индивидуального задания (см. Приложение, табл.1);

– журнал с результатами полевых измерений – табл. 2.1.;

– абрис (рис. 2.1., 2.2.).

 

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ТАХЕОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА

По данным полевого журнала тахеометрической съемки (табл. 2.1.) вычис­лить и занести в журнал для каждой станции среднее значение горизонтального… , , , , (2.1) где Л – отсчет по лимбу вертикального круга при положении "круг лево";

Таблица 2.1.

Журнал тахеометрической съемки

Станция 216 i = 1,40 м Нст. = Положение вертикального круга № точек наблю-дений Расстояние по дально­меру…  

ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ТОЧЕК ТАХЕОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА

В “Ведомость вычисления координат” из журнала тахеометриче­ской съемки (табл.2.1.) выписать средние значения горизонтальных углов и средние значения… Вычислительная обработка тахеометрического хода выполняется аналогично… , (2.4)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСОТ ТОЧЕК ТАХЕОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА

– из табл. 1 высоты исходных пунктов и ; – из журнала тахеометрической съемки (табл. 2.1.) средние значения… . (2.5)

Таблица 2.2.

Ведомость вычисления высот точек тахеометрического хода

№ точек	Расстояние S, м	Превышения h, м	Высоты точек H, м
прямые	обратные	средние	поправки	исправленные
□ 216
○ 101
○ 102   □ 225
ΣS = Σ= Σ= = =

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСОТ СЪЕМОЧНЫХ ПИКЕТОВ

Из «Ведомости вычисления высот точек тахеометрического хода» (табл. 2.2.) выписать в журнал тахеометрической съемки высоты точек хода. Вычислить последовательно углы наклона на съемочные пикеты на каждой точке… Примечание: 1) Если значение М0 < 1′, то его можно не учитывать;

СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА УЧАСТКА

На чертежной бумаге размером 3545 см построить координатную сет­ку со сторонами 10 см. Значение подписей коорди­нат линий сетки для масштаба 1: 2000… По координатам нанести все точки тахеометри­ческого хода. Возле каждой точки… Используя геодезический транспортир и поперечный мас­штаб, нанести на план пикетные точки и справа записать их высоты,…

Вопросы для самопроверки

1. Какова цель тахеометрической съемки? 2. Как определяют при тахеометрической съемке плановое положение съемочных… 3. В чем различие между абрисами тахеометрической и теодолитной съемок?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2

«ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ»

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Контрольная работа выполняется в соответствии с вари­антами, указанными в табл. 2 (см. Приложение). Номер варианта определяется так же, как и в… Для подготовки работы к защите необходимо изучить теоретический материал,… При решении контрольных задач необходимо обратить внимание на следующее:

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ ПО

ИСТИННЫМ ПОГРЕШНОСТЯМ

Для оценки точности результатов измерений применяют формулу Гаусса , (3.1) где – сумма квадратов погрешностей измерений;

Решение задач

Пример 1.

Линия теодолитного хода измерена мерной лентой пять раз. При этом получены результаты: 217,24; 217,31; 217,28; 217,23; 217,20 м. Эта же линия измерена светодальномером, что дало результат 217,236 м. Найти СКП измерения линии мерной лентой, если результат измерения линии светодальномером принят за точное (истинное) значение длины линии.

Решение.

Табл. 3.1 № п/п Результаты измерений м Погрешности измерений ,см … =87,8 СКП равна

Пример 2.

Площадь теодолитного полигона была измерена 8 раз планиметром (см. табл. 3.2). Та же площадь была вычислена аналитическим методом и получен результат 124,32га. Приняв этот результат за точное значение площади полигона a, вычислить СКП и предельную погрешности измерения площади планиметром.

Решение.

Табл. 3.2

№ п/п	Результаты измерений P, га	Погрешности измерений , га	Δ2
	124,48	+0,16	0,025
		-0,14	0,020
		-0,20	0,040
		-0,10	0,010
		+0,22	0,048
		+0,24	0,058
		-0,26	0,068
		+0,08	0,006

=0,275

;

;

;

.

 

Задача 1.

- СКП измерений угла; - определить СКП самого СКП; - найти предельную погрешность.

Задача 2.

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИИ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

На содержание этого раздела следует обратить особое внимание и учесть порядок определения СКП функции, вычисляемой по измеренным величинам… Функция задана в общем виде: , (3.5)

Решение задач

Пример 3.

Пусть проложен висячий теодолитный ход. Горизонтальные углы хода измерялись независимо друг от друга в оди­наковых условиях с СКП . Найти СКП дирекционного угла последней линии рассматриваемого хода. При этом будем считать величиной безошибочной.

Решение.

На основании формулы (3.6) для СКП дирекционного угла последней линии хода… .

Пример 4.

Для получения горизонтального проложения линии на плане определены координаты концов этой линии, что дало результаты , и , . Эти величины получены со СКП и , и . Необходимо вычислить горизонтальное проложение между этими точками и его СКП.

Решение

Горизонтальное проложение между точками определяют по формуле:

Применим формулу (3.6) и вычислим частные производные по всем координатам:

.

Аналогично:

.

Тогда СКП горизонтального проложения определяется формулой

.

При условии, что , будем иметь:

,

или

Пример 5.

Для получения дирекционного угла направления между точками на плане определены координаты концов отрезка, соединяющие эти точки (, ; , ). Эти величины получены с СКП и , и . Необходимо вычислить дирекционный угол направления и его СКП.

Решение.

Дирекционный угол направления вычисляют по формуле:

,

где , , , – координаты концов отрезка.

Согласно (3.6) необходимо вычислить частные производные по всем координатам:

.

Окончательно:

Аналогично найдем частные производные по остальным координатам:

.

.

.

.

СКП дирекционного угла определяется формулой

,

где - радианная мера угла в секундах, равная 206265".

При условии, что , будем иметь:

.

Пример 6.

Вычислить приращения координат и их СКП по линии длиной 250,17 м, имеющей дирекционный угол 63°27,0', если и ,0'.

Решение.

, .  

Задача 3.

Найти СКП превышения, полученного из геометрического нивелирования методом из середины по черным сторонам реек, принимая СКП отсчета по рейке равной 1 мм.

Задача 4.

Задача 5.

Определить СКП превышения, вычисленного на станции геометрического нивелирования методом из середины по черным и красным сторо­нам реек, если СКП отсчета по рейке =1мм.

Задача 6.

Задача 7.

При определении расстояния АВ, недоступного для изме­рения лентой, в треугольнике AВС были измерены: базис AС=84,55м с СКП базиса м; углы A=56°27,0' и С=35°14,0' со СКП, равной =0,5'.

Вычислить расстояние АВ и ее СКП.

Задача 9.

В треугольнике измерены основание и высота с погрешностями, соответственно равными и . Найти СКП площади треугольника.

Задача 10.

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА РЕЗУЛЬТАТОВ

РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При математической обработке ряда равноточных измерений одной и той же величины вычисляют: 1) среднеарифметическое значение измеренной величи­ны (как наиболее… , (3.7)

Решение задач

Пример 7.

Линия теодолитного хода измерена мерной лентой пять раз. Получены следующие результаты: 217,24 м; 217,31 м; 217,38 м; 217,23 м; 217,20 м. Произвести математическую об­работку ряда равноточных измерений.

Решение.

=+36 [V]= -1 =211 =470 217,272 Контроль: .

Задача 13.

Горизонтальный угол измерен 5 раз. Получены результаты: 60°41,0'; 60º40,5'; 60°40,0'; 60°42,0'; .... (см. приложение табл. 2). Произвести обработ­ку этого ряда результатов измерений.

Задача 14.

Площадь контура измерена планиметром 5 раз. Получены результаты: 26,31; 26,28; 26,32; 26,26; .… га (см. приложение табл. 2).Произвести обработ­ку этого ряда результатов измерений.

Задача 15.

Линия теодолитного хода измерена мерной лентой пять раз. При этом получены результаты: 175,24; 175,31; 1175,28; 175,23; .... м (см. приложение табл. 2). Произвести математическую обработ­ку результатов этого ряда измерений.

 

ВЕСА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИЙ

Вес результата измерения определяют по формуле , (3.11) где – произвольно выбранное число одинаковое для всех весов, участвующих в решении задачи;

Решение задач

Пример 8.

Измерены два угла с СКП, соответственно равными =5² и = 1². Вычислить веса этих результатов измерений, если .

Решение.

Веса заданных величин будут

;

а в качестве величины, обладающей единичным весом, выступает угол, точность измерения которого характеризуется СКП равной 1².

Пример 9.

Вычислить вес дирекционного угла - ой линии хода при условии равноточности результатов измерения углов хода и безошибочности дирекционного угла исходной стороны.

Решение.

Условие равноточности измерения углов хода требует дать всем измеренным… Тогда на основании формулы (3.17) записываем выражение обратного веса дирекционного угла последней линии хода.…

Пример 10.

С плана графически сняты прямоугольные координаты начала и конца некоторого отрезка, после чего была вычислена его длина . Принимая, что все четыре координаты были получены равноточно, вычислить вес длины этого отрезка. Сравнить полученное значение веса с весом значения непосредственного измерения линии по карте, если такое измерение выполняется с той же точностью, что и измерение любой из координат конца отрезка.

Решение.

Учитывая, что все четыре координаты получены равноточно, то им можно приписать… Величина является нелинейной функцией координат, и для решения поставленной задачи необходимо вычислить частные…

Задача 16.

Веса результатов измерений горизонтальных углов равны 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 соответственно. Вычислить их СКП, если известно, что СКП единицы веса ...... (см. приложение табл. 2).

Указание: при решении задачи воспользоваться фор­мулой (3.12), связывающей Р, m, μ.

Задача 17.

Найти вес невязки в сумме углов треугольника, если все углы измерены равноточно.

Задача 18.

Задача 19. Определить вес площади прямоугольного треугольника, если катеты: а = 50 м и b…

Задача 20.

Определить вес гипотенузы прямоугольного треугольника, вычисленной по измеренным катетам: а = 60 м и b = 80 м, если и .

Задача 21.

В треугольнике один угол получен 3 приемами, второй — 9, а третий — вычислен. Найти вес третьего угла, приняв вес измеренного одним приемом угла за единицу.

Задача 22.

Чему равен вес угла, измеренного тремя приемами, если вес угла, измеренного одним приемом, равен 1.

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА РЕЗУЛЬТАТОВ

НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При математической обработке неравноточных измерений одной и той же величины решаются последовательно следую­щие задачи: 1) определяют средневесовое значение из результатов измерений , (3.14)

Пример 11.

На заложенный грунтовый репер по четырем ходам геометрического нивелирова­ния различной длины передана высота :

 

№ ходов	, м	, км
	134,172	8,1
		4,2
		5,3
		6,0

 

Произвести математическую обработку ряда высот.

Решение.

№ ходов Высоты , м Длина хода , км Вес Остатки , мм , мм V, мм … =3,58 +80,7 = -1,8 678 2494 ;

Задача 23.

Горизонтальный угол измерен различным числом приемов. Произвести математическую обработку результатов измерений (см. приложение табл. 2).

№ п/п	Значение угла	Количество приемов
	54°12'18''
		……

Задача 24.

Задача 25.

  Произвести математическую обработку ряда значений высот.

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ УГЛОВ И ПРЕВЫШЕНИЙ

ПО НЕВЯЗКАМ В ПОЛИГОНАХ И ХОДАХ

Невязки в сумме углов теодолитных полигонов (ходов) являются погрешностями этих сумм, т.е. . Поэтому для оценки точности из­мерений по невязкам… , (3.19) где – невязки;

Пример 12.

Произвести оценку точности нивелирования по невязкам полигонов, указанным в таблице.

 

№ полигонов	Невязки , мм	Число станций, п
	+32
	+2
	-21
	+ 6
	+ 8
	-12
	-31
	+15

[n]=378 =2899 = 49

В данном случае СКП единицы веса есть СКП превышения на 1 станцию хода

.

Контроль:

Считая, что в среднем на 1 км хода приходится 10 стан­ций, получим СКП превышения на 1 км по формуле

.

Задача 26.

  № пол-ов L, км , мм +18 -14 -24 …

Задача 27.

  № полигонов Число углов в полигонах -2.5' +4,8 …

Задача 28.

  № треуголь­ников Невязки № треуголь­ников Невязки +10" …    

ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДНЕАРИФМЕТИЧЕСКОГО С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

, (3.29) где – точность оценки; n – объем выборки;

Пример 13.

Построить доверительный интервал для математического ожидания случайной величины X при Имеем:

 

	50,91	50,23	49,51	48,79	48,10	47,38	46,60	47,47	50,95	54,35	57,33	57,57

 

В качестве исходного положения примем , где - предельная величина погрешности измерения.

По табл. 3 (см. приложение) для и находим , откуда

Доверительный интервал будет

.

 

Задача 29.

Произведено 16 измерений теодолитом 4Т30П горизонтального угла полным приемом, со СКП 0,5'. Найдите доверительный интервал погрешностей теодолита с надежностью =0,95. Предполагается, что погрешности измерений распределены нормальному закону.

Задача 30.

Задача 31. Решить задачи 13, 14 и 15 с использованием доверительных интервалов.  

СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

 

ОКРУГЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ

В приближенных вычислениях часто приходиться округлять числа (как приближенные, так и точные), т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр.… - если первая из отбрасываемых цифр больше или равняется 5, то последняя из… - если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, то усиление не делается;

ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ

Точность приближенных чисел определяется числом значащих цифр. Например: число 28,3 имеет три значащих цифры. Число 0,00422 имеет тоже три значащих цифры. Число 1,06005 имеет шесть значащих цифр. Число 2500,0 имеет пять значащих цифр, так как оно верно до десятых долей единицы.

Если вместо числа 25643 взять число 26000, то говорят, что в округленном числе имеется две значащие цифры; рекомендуемая запись этого числа — 26310³.

 

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

. (3.30) Погрешность называется абсолютной. Отношение погрешности к измеренной величине, выраженное дробью, в числителе которой единица, называют относительной…

Вопросы для самопроверки

2. Что называется погрешностью измерений? 3. Как классифицируются погрешности измерений? 4. Какими свойствами обладают случайные погрешности?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 3

«УРАВНИВАНИЕ СИСТЕМЫ ТЕОДОЛИТНЫХ ХОДОВ

С ОДНОЙ УЗЛОВОЙ ТОЧКОЙ»

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Если плотность пунктов опорной плановой геодезической сети недостаточна для выполнения топографических съемок, то сеть сгущают путем развития… На практике возможно появление ситуаций, когда в гео­дезических построениях… Рассмотрим геодезическое построе­ние в виде системы трех теодолитных ходов с одной узловой точкой. Практическая…

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Схема сети и результаты полевых измерений показаны на рис. 4.1. В соответствии с вариантом индивидуального задания (см. табл. 4 приложения), на… и , где n – номер варианта.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Составляют схематический чертеж согласно заданному варианту. Уравнивание углов выполняется в следующем порядке. 4.3.1. Выбирают узловую линию, т.е. линию, примыкающую к узловой точке 5. При… 4.3.2. Для каждого хода по координатам исходных пунктов решают обратные геодезические задачи и находят исходные…

Таблица 4.1

Вычисление окончательного значения дирекционного угла узловой линии

№ хода

 

4.3.4. Прежде чем приступить к нахождению средневесового значения дирекционного угла узловой линии необходимо проверить качество угловых измерений в теодолитных ходах. Для этого составляют разности вычисленных дирекционных углов и получают невязки. Первую разность составляют из дирекционных углов по двум ходам с наименьшим числом углов. Другую разность составляют из дирекционных углов, вычисленных по третьему ходу и одному из двух первых по формулам:

(4.2)

Невязки сравнивают с допустимыми значениями невязок, которые находят по формуле

, (4.3)

где и - количество углов в i-ом и j-ом ходах.

При допустимости невязок, производят уравнивание дирекционных углов.

Определяют веса вычисленных значений дирекционных углов узловой линии по формуле

, (4.4)

где – произвольный коэффициент, выбираемый так, чтобы веса выражались числами, близкими к единице. Веса записывают в графу 4 табл. 4.1 с округлением до 0,01.

Вычисляют средневесовое значение дирекционного угла узловой линии

, (4.5)

где – остатки, вычисляемые по формуле

(i = 1, 2, 3). (4.6)

После этого определяют угловые невязки по всем трем ходам по значениям дирекционного угла узловой линии для правых углов по ходу

(i = 1, 2, 3) , (4.7)

а для левых углов по ходу

(i = 1, 2, 3). (4.8)

Контроль правильности вычисления дирекционного угла и невязок проверяют по формулам

, или .

За счет округления величины появляется ошибка округления . Для определения следует при делении в результате удерживать две дополнительные цифры.

В этом случае контролем является выражение

[Pf].

Если в ходе имеются и правые и левые углы, то надо изменить знак произведений Pf в столбце 8 табл. 4.1 на противоположный, чтобы все произведения соответствовали только правым или только левым углам.

4.3.5. СКП измерения угла вычисляют по формуле

, (4.9)

где – СКП, вычисляемая по формуле

, (4.10)

где N – количество ходов.

4.3.6. Полученное окончательное значение дирекционного угла узловой линии принимают за исходное и записывают в графу "Дирекционные углы" ведомости вычисления координат.

Вычисляют теоретические суммы углов по каждому ходу, которые записывают в графу 2 ведомости вычисления координат. После этого вновь вычисляют невязки и сличают их с полученными в графе 7 табл. 4.1.

Полученные невязки распределяют с противоположным знаком поровну на углы соответствующих ходов (с округлением до 0,1´).

Для проверки правильности распределения невязок подсчитывают суммы исправленных углов. Они должны быть равны теоретическим суммам по каждому ходу.

По исправленным углам вычисляют дирекционные углы всех линий.

После этого переходят к уравниванию приращений координат.

4.3.7. Со схемы ходов выписывают в ведомость координат горизонтальные проложения сторон теодолитных ходов и координаты начальных исходных пунктов. Вычисляют приращения координат и их суммы по каждому ходу, а затем – координаты узловой точки по всем трем ходам по формулам

; (i = 1, 2, 3). (4.11)

Результаты вычислений записывают в табл. 4.2. по вычислению окончательных значений координат узловой точки 5.

Таблица 4.2

Вычисление окончательных значений координат узловой точки 5.

№ п/п

, м

, см

, см

, см

, см

, км

k =

, см

, см

, см

, см

, м

 

Для установления качества измерений длин сторон теодолитных ходов вычисляют относительные невязки по ходам: по первому вместе со вторым и по второму вместе с третьим. С этой целью составляют разности координат по соответствующим парам ходов; одна пара ходов берется с наименьшими длинами. При этом применяются следующие формулы:

; ; (4.12)

; ; (4.13)

; ; (4.14)

; , (4.15)

где – периметр i -ого и j -того ходов;

– невязка в периметре i -ого и j -того ходов.

Значения невязок приводят в таблице 4.3.

 

Таблица 4.3

	S, м	Невязка
1+2 2+3

 

Относительные невязки не должны превышать 1:2000.

4.3.8. Выяснив, что невязки допустимы, вычисляют веса координат узловой точки

(i = 1,2,3), (4.16)

где – длина i–ого хода, выраженная в километрах,

k – произвольный коэффициент, выбираемый с таким расчетом, как и при вычислении дирекционных углов.

Результаты вычислений записывают в графу 9 табл. 4.2.

Затем находят средневесовое (окончательное) значение координат узловой точки

; . (4.17)

4.3.9. По этим координатам вычисляют невязки в приращениях по каждому ходу

; . (4.18)

Правильность вычисления средневесового значения координат узловой точки и невязок в приращениях по ходам контролируют по формулам

; . (4.19)

За счет округления величин и появляются ошибки округления и .

В этом случае контролирующими являются выражения

[]и [].

4.3.10. Производят оценку точности планового положения узловой точки. Для этого:

– вычисляют СКП единицы веса

; ; (4.20)

– вычисляют СКП абсцисс и ординат

; ; (4.21)

– вычисляют СКП планового положения узловой точки

. (4.22)

4.3.11. Координаты узловой точки выписывают в ведомость вычисления координат и традиционным способом уравнивают приращения и вычисляют координаты точек в каждом ходе.

 

Вопросы для самопроверки

2. По какой формуле вычисляется окончательное значе­ние дирекционного угла узловой линии? 3. Как вычисляется угловая невязка в ходе, если извест­ны значения… 4. Как контролируется доброкачественность угловых из­мерений в сети?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

Варианты индивидуальных заданий для выполнения

контрольной работы 1 - «Тахеометрическая съемка»

№ п/п	º ′	º ′	, м	, м	, м	, м
	221 11,0	353 41,0	4212,40	- 2380,84	209,19	212,45
	221 16,5	353 46,5	4212,94	- 2380,90	210,19	213,45
	221 21,0	353 51,0	4213,48	- 2380,96	211,27	214,53
	221 26,5	353 56,5	4214,02	- 2381,02	212,35	215,61
	221 31,0	354 01,0	4214,56	- 2381,08	213,43	216,69
	221 36,5	354 06,5	4215,10	- 2381,14	214,51	217,77
	221 41,0	354 11,0	4215,64	- 2381,20	215,59	218,85
	221 46,5	354 16,5	4216,18	- 2381,26	216,67	219,93
	221 51,0	354 21,0	4216,72	- 2381,32	217,75	221,01
	221 56,5	354 26,5	4217,26	- 2381,38	218,83	222,09
	222 01,0	354 31,0	4217,80	- 2381,44	219,91	223,17
	222 06,5	354 36,5 4218,34	- 2381,50	220,99	224,25
	222 11,0	354 41,0	4218,89	- 2381,54	222,07	225,33
	222 16,5	354 46,5	4219,43	- 2381,59	223,15	226,41
	222 21,0	354 51,0	4219,97	- 2381,64	224,23	227,49
	222 26,5	354 56,5	4220,51	- 2381,69	225,31	228,57
	222 31,0	355 01,0	4221,05	- 2381,74	226,39	229,65
	222 36,5	355 06,5 4221,59	- 2381,79	227,47	230,73
	222 41,0	355 11,0	4222,13	- 2381,84	228,55	231,81
	222 46,5	355 16,5	4222,67	- 2381,89	229,63	232,89
	222 51,0	355 21,0	4223,21	- 2381,94	230,71	233,97
	222 56,5	355 26,5	4223,75	- 2381,99	231,79	235,05
	223 01,0	355 31,0	4224,29	- 2382,04	232,87	236,13
	223 06,5	355 36,5	4224,83	- 2382,09	233,95	237,21
	223 11,0	355 41,0	4225,37	- 2382,14	235,03	238,29
	223 16,5	355 46,5	4225,91	- 2382,19	236,11	239,37
	223 21,0	355 51,0	4226,45	- 2382,24	237,19	240,45
	223 26,5	355 56,5	4226,99	- 2382,29	238,27	241,53
	223 31,0	356 01,0	4227,53	- 2382,34	239,35	242,61
	223 36,5	356 06,5	4228,07	- 2382,39	240,43	243,69
	223 41,0	356 11,0	4228,61	- 2382,44	241,51	244,77
	223 46,5	356 16,5	4229,15	- 2382,49	242,59	245,85
	223 51,0	356 21,0	4229,69	- 2382,54	243,67	246,93
	223 56,5	356 26,5	4230,29	- 2382,59	244,75	248,01
	224 01,0	356 31,0	4230,77	- 2382,64	245,83	249,09
	224 06,5	356 36,5	4231,31	- 2382,69	246,91	250,17
	224 11,0	356 41,0	4231,85	- 2382,74	247,99	251,25
	224 16,5	356 46,5	4232,39	- 2382,79	249,07	252,33
	224 21,0	356 51,0	4232,93	- 2382,84	250,15	253,41
	224 26,5	356 56,5	4233,47	- 2382,89	251,23	254,49
	224 31,0	357 01,0	4234,01	- 2382,94	252,31	255,57
	224 36,5	357 06,5	4234,55	- 2382,99	253,39	256,65
	224 41,0	357 11,0	4235,09	- 2383,04	254,47	257,73
	224 46,5	357 16,5	4235,63	- 2383,09	255,55	258,81
	224 51,0	357 21,0	4236,17	- 2383,14	256,63	259,89
	224 56,5	357 26,5	4236,71	- 2383,19	257,71	260,97
	225 01,0	357 31,0	4237,25	- 2383,24	257,79	261,05
	225 06,5	357 36,5	4237,79	- 2383,29	258,87	262,13
	225 11,0	357 41,0	4238,33	- 2383,34	259,95	263,21
	225 16,5	357 46,5	4238,87	- 2383,39	261,03	264,29

 

, .[1]

 

Таблица 2

Варианты индивидуальных задач для выполнения

контрольной работы 2- «Теория погрешностей измерений»

 

№ п/п
		39º16'00"	+ 2º30'	60º41,0'	26,25 га	175,10 м	5"			6; 4	10; 15
		16 03	1 45	42,0						4; 6	16; 14
		16 06	3 10	43,0						6; 10	18; 16
		16 09	3 00	40,0						10; 6	16; 18
		16 12	3 30	41,5						4; 10	10; 15
		16 15	3 45	42,5						10; 4	14; 16
		16 18	4 00	43,5						6; 4	16; 18
		16 21	4 12	40,5						4; 6	15; 10
		16 24	4 28	41,0						6; 10	14; 16
		16 27	4 35	42,0						10; 6	16; 18
		16 30	4 42	43,0						6; 10	15; 10
		16 33	4 50	40,0						4; 10	16; 14
		16 36	4 55	41,5						10; 4	18; 16
		16 39	5 00	42,5						6; 4	10; 14
		16 42	5 02	43,5						4; 6	14; 10
		16 45	5 05	40,5						6; 10	15; 10
		16 48	5 24	41,0						10; 6	10; 15
		16 51	5 17	42,0						4; 10	16; 18
		15 48	5 30	43,0						10; 4	18; 16
		15 51	5 32	40,0						6; 4	10; 15
		15 54	5 33	41,5						4; 6	16; 14
		15 57	5 35	42,5						6; 10	16; 18
		16 01	5 40	43,5						10; 6	10; 15
		16 04	5 42	40,5						4; 10	16; 18
		16 05	5 45	41,0						10; 4	14; 16
		16 10	5 47	42,0						6; 4	16; 14
		16 15	5 51	43,0						4; 6	15; 10
		16 20	5 53	40,0						6; 10	10; 15
		16 25	5 58	41,5						10; 5	16; 18
		16 28	6 01	42,5						4; 10	18; 16

 

Данные для решения задач, номера которых не указаны в таблице, общие для всех студентов.

 

Таблица 3

Значения в зависимости от и n-1

	0,9	0,95	0,98	0,99
	6,31	12,71	31,8	63,7
	2,92	4,30	6,96	9,92
	2,35	3,18	4,54	5,84
	2,13	2,77	3,75	4,60
	2,02	2,57	3,36	4,03
	1,943	2,45	3,14	3,71
	1,895	2,36	3,00	3,50
	1,860	2,31	2,90	3,36
	1,833	2,26	2,82	3,25
	1,812	2,23	2,76	3,17
	1,796	2,20	2,72	3,11
	1,782	2,18	2,68	3,06
	1,771	2,16	2,65	3,01
	1,761	2,14	2,62	2,98
	1,753	2,13	2,60	2,95
	1,746	2,12	2,58	2,92
	1,740	2,11	2,57	2,90
	1,734	2,10	2,55	2,88
	1,729	2,09	2,54	2,86
	1,725	2,09	2,53	2,84
	1,721	2,08	2,52	2,83
	1,717	2,07	2,51	2,82
	1,714	2,07	2,50	2,81
	1,711	2,06	2,49	2,80
	1,708	2,06	2,48	2,79
	1,706	2,06	2,48	2,78
	1,703	2,05	2,47	2,77
	1,701	2,05	2,47	2,76
	1,699	2,04	2,46	2,76
	1,697	2,04	2,46	2,75

 

 

Таблица 4

Варианты индивидуальных задач для выполнения контрольной работы 4 - «Уравнивание системы теодолитных ходов с одной узловой точкой»

№ варианта	Название линии	Длина линии, м	Вершина угла	Значение угла
	B–1 D–7	198,08 177,77	B D	168º 33,5' 181 08,0
	1–2 7–6	223,78 211,02		210 26,5 143 19,0
	2–3 6–5	198,79 222,55		193 02,5 219 51,0
	3–4 5–8	209,37 232,92		140 45,0 197 23,0
	4–5 8–F	172,49 228,54		240 49,5 151 56,5
	5–8 D–7	236,12 177,17	D	107 47,0 181 08,5
	B–1 7–6	197,38 210,02	B	143 16,0 168 30,5
	6–5 1–2	221,75 223,08		219 46,0 210 23,5
	5–8 2–3	235,17 197,94		197 20,0 192 59,5
	F–8 3–4	228,02 208,85	F	205 47,5 140 41,5
	4–5 D–7	173,07 176,96	D	240 50,0 181 07,5
	5–8 7– 6	234,98 210,53		107 46,0 143 18,5
	8–F 6–5	227,95 222,93		151 57,5 219 51,5
	B–1 5–8	197,26 236,01	F	205 48,0 197 22,5
	1–2 8–F	223,92 228,33	B	168 33,0 151 57,0
	2–3 D–7	198,86 177,45	F	210 27,0 205 47,0
	3–4 7–6	209,58 210,39	D	193 03,0 181 07,0
	4–5 6–5	172,59 222,82		140 44,0 143 19,5
	5–8 1–2	236,32 222,85		240 50,5 219 46,5
	8–F 2–3	227,82 198,46		107 46,5 151 55,5
	B–1 D–7	198,08 177,77		107 46,5 151 55,5
	1–2 7–6	223,78 211,02		240 50,5 219 46,5
	2–3 6–5	198,79 222,55		140 44,0 143 19,5
	3–4 5–8	209,37 232,92	D	193 03,0 181 07,0
	4–5 8–F	172,49 228,54	F	210 27,0 205 47,0
	5–8 D–7	236,12 177,17	B	168 33,0 151 57,0
	B–1 7–6	197,38 210,02	F	205 48,0 197 22,5
	6–5 1–2	221,75 223,08		151 57,5 219 51,5
	5–8 2–3	235,17 197,94		107 46,0 143 18,5
	F–8 3–4	228,02 208,85	D	240 50,0 181 07,5
	4–5 D–7	173,07 176,96	F	205 47,5 140 41,5
	5–8 7– 6	234,98 210,53		197 20,0 192 59,5
	8–F 6–5	227,95 222,93		219 46,0 210 23,5
	B–1 5–8	197,26 236,01	B	143 16,0 168 30,5
	1–2 8–F	223,92 228,33	D	107 47,0 181 08,5
	2–3 D–7	198,86 177,45		240 49,5 151 56,5
	3–4 7–6	209,58 210,39		140 45,0 197 23,0
	4–5 6–5	172,59 222,82		193 02,5 219 51,0
	5–8 1–2	236,32 222,85		210 26,5 143 19,0
	8–F 2–3	227,82 198,46	B D	168º 33,5' 181 08,0
	B–1 D–7	198,08 177,77		107 46,5 151 55,5
	2–3 6–5	198,79 222,55		140 44,0 143 19,5
	5–8 D–7	236,12 177,17	B	168 33,0 151 57,0
	5–8 2–3	235,17 197,94		107 46,0 143 18,5
	5–8 7– 6	234,98 210,53		197 20,0 192 59,5
	1–2 8–F	223,92 228,33	D	107 47,0 181 08,5
	4–5 6–5	172,59 222,82		210 26,5 143 19,0
	B–1 D–7	198,08 177,77		240 49,5 151 56,5
	3–4 5–8	209,37 232,92		219 46,0 210 23,5
	B–1 7–6	197,38 210,02	D	240 50,0 181 07,5

 

Таблица 5

Исходные данные

 

№ пунктов	Координаты, м
Х	Y
A B C D E F	+4519,83 4584,11 6014,73 5612,65 4858,23 4897,84	+5204,38 5462,18 6171,34 6165,08 7006,76 6685,61

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

, где – приращение функции на величину . Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой…

Таблица 3.1.

Пример.

Дана функция . Найти и .

Решение.

;

.

[1] Координаты т. 216 одинаковые для всех вариантов.