Аналитические методы обработки результатов. Графический метод обработки результатов обладает наглядностью, относительной простотой, однако его результаты содержат определенную субъективность и относительно низкую точность.
Аналитические методы лишены в какой то степени указанных недостатков и позволяют получить результат для более широкого класса функций с большей точностью, чем графический метод. Существуют различные аналитические методы получения параметров эмпирических кривых в зависимости от критерия, принятого при их получении.
Рассмотрим некоторые из существующих способов. 3.3.1. Способ средней Допустим, что имеется n сочетаний xi, yi, полученных при эксперименте. Даже в том случае, если между х и y теоретически установлена функциональная связь в данном случае предположим, что линейная, то наблюдаемые значения yi будут отличаться от ахi b вследствие наличия экспериментальных ошибок. Обозначим через i соответствующую ошибку i yi axi b i 1, 2 n Если выбирать параметры а и b так, чтобы для всех n наблюдений ошибки уравновешивались, т.е то это привело бы нас к одному уравнению, тогда как для нахождения двух коэффициентов а, b их требуется два. Поэтому предположим, что уравновешивание происходит не только для всех произведенных наблюдений в целом, но и для каждой группы, содержащей половину или почти половину всех наблюдений в отдельности.
В этом случае можно прийти к системе уравнений, где m число наблюдений в первой группе. Данную систему уравнений запишем теперь в виде. Изложенное показывает, что метод средних уравновешивает положительные и отрицательные отклонения теоретической кривой от экспериментальных значений.
Пример. Используя данные рис. 10 определим коэффициенты а, b методом средней. Для этого семь измерений разделим на две группы m 3 первых значений, n m 4 последующих. Получаем систему Решая систему находим b Таким образом способ средней дает прямую y 0,55х 3,11. В сравнении с графическим способом коэффициенты а совпадают и имеется различие в коэффициенте b. 3.3.2. Метод наименьших квадратов В методе средних при определении коэффициентов уравнения использовалось условие равенства нулю алгебраической суммы отклонений результатов эксперимента от теоретической кривой в частном случае прямой. Очевидно, что при этом i могут быть значительной величины.
Имеет значение только уравновешивание положительных и отрицательных отклонений. Поставим теперь задачу нахождения по результатам наблюдений наиболее вероятные значения неизвестных коэффициентов.
Предположим, что искомая зависимость y х существует. Тогда параметры этой линии необходимо выбрать таким образом, чтобы точки yi располагались по обе стороны кривой y х как можно ближе к последней. Предположим, что разброс точек yi относительно y х подчиняется закону нормального распределения. Тогда мерой разброса является дисперсия 2 или ее приближенное выражение средний квадрат отклонений И требование минимального разброса будет удовлетворено, если минимизировать выражение yi 2. Как известно, необходимым условием того, что функция приобретает минимальное значение, является то, что ее первая производная или частные производные для функции многих переменных равна нулю. Применение метода наименьших квадратов имеет смысл, если число экспериментальных точек n больше числа определяемых коэффициентов.
Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида y ax b. Для нахождения коэффициентов а, b искомой прямой необходимо минимизировать сумму квадратов расстояний yi по ординате от точки хi yi до прямой см. рис. 12 . Расстояния yi определятся yi yi axi b. Для минимизации приравниваем к нулю производные этой суммы по параметрам а, b. Преобразуем эту систему Получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов.
Решая ее относительно а, b получаем. Вычисляя из n опытов необходимые суммы и производя указанные действия, получаем величину коэффициентов а, b. Как видно, способ наименьших квадратов достаточно громоздок и при его применении широко используется вычислительная техника.
Метод наименьших квадратов может использоваться и в случае нелинейных функций. Например, если определяются параметры квадратичной зависимости y ах2 bx с, то. Дифференцируя это соотношение по а, b, с получаем систему нормальных уравнений Из этой системы можно определить параметры а, b, с. При использовании метода наименьших квадратов при других нелинейностях, удобнее будет линеаризовать исходные зависимости.
В табл. 4 приведены системы нормальных уравнений для некоторых исходных уравнений. Таблица 4 Системы нормальных уравнений Исходное уравнение Система нормальных уравнений y axb y algx b y eax b y aebx y y y Примечания 1. Величины х, y обозначают значения величин хi, yi в iом опыте 2. Знак обозначают сумму величин от i 1 до i n, где n число равноточных измерений. 3.3.3.