Интерполирование функций. Известно, что под интерполированием понимают отыскание значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице логарифмов, тригонометрических и др. функций.
В общем смысле можно сказать, что задача интерполирования обратна задаче табулирования функций. При интерполировании по таблице значений функции строится ее аналитическое выражение, т.е. по значениям функции yo, y1 yn при значениях аргумента хо, х1 хn определяется выражение неизвестной функции. Понятно, что через данные точки даже большого числа можно провести множество различных кривых. Поэтому существует интерполирование в различных функциях F х. Чаще всего требуют, чтобы функция F х была многочленом степени на единицу меньшей, чем число известных значений.
Таким образом, задачу интерполирования функций можно сформулировать следующим образом. Для данных значений х хо, х1 хn и y yo, y1 yn найти многочлен y F х степени n, удовлетворяющий условиям F хо yo, F х1 y1 F хn yn. Точки хо, х1 хn называют узлами интерполяции. Многочлен F х интерполяционным многочленом, а формулы его построения интерполяционными формулами.
Как видно из описания сущности интерполирования, в отличии от описанных ранее способов получения функций графического, метода средних, метода наименьших квадратов, интерполяционный многочлен опишет кривую, проходящую точно через заданные точки. 3.3.4. Параболическое интерполирование При параболическом интерполировании в качестве интерполяционного многочлена F х принимают многочлен n ой степени вида F х ао а1х а2х2 аnxn. Используя свойство прохождения функции F х через заданные точки для неизвестных коэффициентов аi можно составить n 1 уравнений с n 1 неизвестным ао а1хо а2хо2 аnхоn yo ао а1х1 а2х12 аnх12 y1 ао а1хn а2хn2 аnхn2 yn. Эта система имеет единственное решение, если значения хi отличны друг от друга.
Понятно, что при большом n возникает сложность решения этой системы. Перед рассмотрением общего способа решения, рассмотрим простой пример. Дано хо 0, х1 1, х2 2, yо 1, y1 1, y2 3. Определить многочлен F х. Записывая многочлен F х в виде F х ао а1х а2х2 составим систему уравнений или откуда ао 1, а1 1, а2 1 и интерпол