Оценка точности измерений. Для ряда равноточных измерений а1, а2 аn определим его среднеарифметическое значение а и составим разности а а1 , а а2 а аn. Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения Vi. Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки хi Х аi, бывают положительные и отрицательные, нулевые.
Рассмотрим т.е. алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.
Вероятнейшие ошибки Vi лежат в основе математической обработки результатов измерений именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку аi среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата измерений. Средняя истинная случайная ошибка иначе среднее отклонение отдельного измерения определяется выражением х1 х2 хn n. Величина х1 2 х2 2 хn 2n представляет средний квадрат случайной ошибки или дисперсию S2 выборки при ограниченном n или генеральной совокупности 2 при бесконечном n. Средняя квадратичная ошибка отдельного измерения S является лучшим критерием точности, чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации положительных и отрицательных ошибок хi и сильнее учитывается действие крупных ошибок.
Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и истинные случайные ошибки хi. Для определения средней квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что при большом числе измерений n справедливо равенство. Различный знаменатель объясняется тем, что величины хi являются независимыми, а из n величин Vi независимыми являются n1, т.к. в величину Vi входит а, само определяемое из этих же n измерений.
Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить среднюю квадратичную ошибку определенного измерения. Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е. определим величину х Х а. Для этого проведем преобразование выражения Sn2 . Если повторить серии по n измерений в каждой N раз, можно получить средние значения а1, а2 аN и погрешности результатов измерений х 1 Х а1 х 2 Х а2 х N Х аN и среднюю среднеквадратичную погрешность серии Sa2 . При большом числе N S2a 2a. Усредняя выражение S2n по числу серий N, получаем Sa2 x 2 Sn2 . Учитывая что при большом n S2n 2 и S2 2 получаем искомую связь между дисперсиями всего опыта 2a и отдельного эксперимента 2 , т.е. дисперсия 2a результата серии из n измерений в n раз меньше дисперсии отдельного измерения.
При ограниченном числе n измерений приближенным выражением 2a будет S2a. Выражения 2a и S2a отражают фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного четыре измерения чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз и т.д. 1.7.