Пусть ЗПЛ представлена в следующей записи:
(7)
(8)
(9)
Чтобы задача (7) – (8) имела решение, системе её ограничений (8) должна быть совместной. Это возможно, если r этой системы не больше числа неизвестных n. Случай r>n вообще невозможен. При r= n система имеет единственное решение, которое будет при оптимальным. В этом случае проблема выбора оптимального решения теряет смысл. Выясним структуру координат угловой точки многогранных решений. Пусть r<n. В этом случае система векторов содержит базис — максимальную линейно независимую подсистему векторов, через которую любой вектор системы может быть выражен как ее линейная комбинация. Базисов, вообще говоря, может быть несколько, но не более . Каждый из них состоит точно из r векторов. Переменные ЗЛП, соответствующие r векторам базиса, называют, как известно, базисными и обозначают БП. Остальные n – r переменных будут свободными, их обозначают СП. Не ограничивая общности, будем считать, что базис составляют первые m векторов . Этому базису соответствуют базисные переменные , а свободными будут переменные .
Если свободные переменные приравнять нулю, а базисные переменные при этом примут неотрицательные значения, то полученное частное решение системы (8) называют опорным решением (планом).
Теорема.Если система векторов содержит m линейно независимых векторов , то допустимый план (10) является крайней точкой многогранника планов.
Теорема. Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника решений. Если же целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.