Задача линейного программирования и свойстваее решений

Введение.

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседнев­ной практике, являются многовариантными. Среди множе­ства возможных вариантов в условиях рыночных отно­шений приходится отыскивать наилучшие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, эко­номические и технологические возможности. В связи с этим возникла необхо­димость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику? Такие методы объединяются под общим названием — математическое программирование.

Математическое программирование — область мате­матики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограниче­ниями, т. е. задач на экстремум функции многих пере­менных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием опти­мальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет матема­тическую модель. Математическая модель задачи — это отражение ори­гинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:

1) совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);

2) целевую функцию (функцию цели, показатель эф­фективности, критерий оптимальности, функционал зада­чи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилуч­ший вариант -из множества возможных. Наилучший ва­риант доставляет целевой функции экстремальное значе­ние. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень об­служивания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;

Эти условия следуют из огра­ниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, техноло­гического и вообще научного потенциала. Нередко по­требности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравне­ний и неравенств. Их совокупность образует область до­пустимых решений (область экономических возможно­стей). План, удовлетворяющий системе ограничений зада­чи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, на­зывается оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обяза­тельно единственно, возможны случаи, когда оно не су­ществует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.

Один из разделов математического программирования - линейным программированием. Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполните­лям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспек­тивного, текущего и оперативного планирования и управ­ления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах раз­вития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного програм­мирования получили при решении задач экономии ресур­сов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспорт­ных и других задач.

Начало линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Кан­торовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в эконо­мике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач — симплекс-метод. Общая идея симплексного метода (ме­тода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит в следующем:

1) умение находить начальный опорный план;

2) наличие признака оптимальности опорного пла­на;

3) умение переходить к нехудшему опорному плану.

 

Задача линейного программирования и свойстваее решений.

1.1 Понятие линейного программирования. Линейное про­граммирование—раздел математического программирования, применяемый при разработке методов… Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума…  

Свойства решений.

(7) (8) (9)

Графический способ решения ЗЛП.

Пусть дана задача (11) (12)

Симплексный метод.

1) умение находить начальный опорный план; 2) наличие признака оптимальности опорного пла­на; 3) умение переходить к нехудшему опорному плану.

Признаки оптимальности.

Теорема. Если исходная задача решается на мини­мум и для некоторого опорного плана все оценки неположительны, то такой план оптимален.  

Понятие двойственности.

Математическая модель задачи: (1) (2)

И их экономическое содержание

Теорема.

Экономическое содержание первой теоремы двойствен­ности состоит в следующем: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск…   Теорема. (о дополняющей нежесткости )

Задача о смесях.

Задача о раскрое материалов.

Сущность задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких техно­логически допустимых планов раскроя, при которых полу­чается необходимый комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму. Рассмотрим простейшую модель раскроя по одному измерению. Более сложные постановки ведут к задачам целочисленного программирования.

Транспортная задача.

Задача о размещении заказа.

Речь идет о задаче рас­пределения заказа (загрузки взаимозаменяемых групп оборудования) между предприятиями (цехами, станками, исполнителями) с различными производственными и тех­нологическими характеристиками, но взаимозаменяемыми в смысле выполнения заказа. Требуется составить план размещения заказа (загрузки оборудования), при кото­ром с имеющимися производственными возможностями заказ был бы выполнен, а показатель эффективности до­стигал экстремального значения.

 

Анализ задачи об оптимальном использовании сырья.

  Ресурсы Выпускаемая продукция Объём Ресурсов Трудовые…