Пусть - пространство элементарных событий с алгеброй случайных событий .
Определение. Говорят, что случайные события образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (то есть и
Такие случайные события называют также гипотезами. Заметим, что для полной группы событий из аксиом 2, 3 следует, что
Теорема.Пусть полная группа событий. Тогда
(5)
Доказательство.
Так как полная группа событий, то не трудно доказать, что
При этом события как и события попарно несовместны. Из последнего равенства, аксиомы 3 и формулы (2) следует (5). Теорема доказана.
Формула (5) называется формулой полной вероятности.
Пример. В первой урне находится три белых и четыре черных шара, а во второй – пять белых и два черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар. Какова вероятность того, что шар, вынутый наугад из второй урны, окажется белым?
Решение.
Обозначим искомое событие через . Состав второй урны зависит от того, какой шар переложили из первой урны.
Обозначим через случайные события, состоящие в том, что из первой урны переложен белый и черный шары соответственно. Очевидно, что и составляют полную группу событий. Найдем
Если переложили белый шар (то есть верна гипотеза ), то во второй урне окажется 6 белых и 2 черных шара. Поэтому
Аналогично,
По формуле полной вероятности
В качестве следствия из формулы полной вероятности выведем формулу Байеса, которая в некотором смысле решает обратную задачу. Пусть полная группа событий. Допустим, что в результате некоторого опыта наступило случайное событие . Требуется найти вероятности выполнения гипотез то есть вычислить
Найдем вероятность , где Из формулы (2) следуют равенства
; ;
Приравнивая правые части, получим
; .
Выразив P(A) по формуле полной вероятности, выведем формулу
,
которая называется формулой Байеса.
Тема 3: Схема Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа.