Формула полной вероятности и Байеса.

Пусть - пространство элементарных событий с алгеброй случайных событий .

Определение. Говорят, что случайные события образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (то есть и

Такие случайные события называют также гипотезами. Заметим, что для полной группы событий из аксиом 2, 3 следует, что

Теорема.Пусть полная группа событий. Тогда

(5)

Доказательство.

Так как полная группа событий, то не трудно доказать, что

При этом события как и события попарно несовместны. Из последнего равенства, аксиомы 3 и формулы (2) следует (5). Теорема доказана.

Формула (5) называется формулой полной вероятности.

Пример. В первой урне находится три белых и четыре черных шара, а во второй – пять белых и два черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар. Какова вероятность того, что шар, вынутый наугад из второй урны, окажется белым?

Решение.

Обозначим искомое событие через . Состав второй урны зависит от того, какой шар переложили из первой урны.

Обозначим через случайные события, состоящие в том, что из первой урны переложен белый и черный шары соответственно. Очевидно, что и составляют полную группу событий. Найдем

Если переложили белый шар (то есть верна гипотеза ), то во второй урне окажется 6 белых и 2 черных шара. Поэтому

Аналогично,

По формуле полной вероятности

В качестве следствия из формулы полной вероятности выведем формулу Байеса, которая в некотором смысле решает обратную задачу. Пусть полная группа событий. Допустим, что в результате некоторого опыта наступило случайное событие . Требуется найти вероятности выполнения гипотез то есть вычислить

Найдем вероятность , где Из формулы (2) следуют равенства

; ;

Приравнивая правые части, получим

; .

Выразив P(A) по формуле полной вероятности, выведем формулу

,

которая называется формулой Байеса.

 

Тема 3: Схема Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа.