Реферат Курсовая Конспект
Классическое определение вероятности - раздел Социология, Тема 1: Формулы Комбинаторики И Вероятность, Аксиомы Колмогоро...
|
Тема 1: Формулы комбинаторики и вероятность, аксиомы Колмогорова. Алгебра событий.
Классическое определение вероятности.
Основные понятия.
В жизни часто встречаются ситуации, когда результат проводимого опыта (испытания, наблюдения) нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Так, при бросании монеты нельзя точно сказать, какой стороной она упадет, при покупке лотерейного билета нельзя точно знать, выпадет ли на него выигрыш, при раздаче карт нельзя знать определенно, сколько козырей окажется у вас в руках. Во всех таких случаях результат опыта рассматривают как случайное событие.
Мы будем использовать следующее определение.
Определение 1. Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если оно может как наступить, так и не наступить в результате проведения данного опыта.
Примерами случайных событий являются : присутствие нечетного числа студентов на лекции, выпадение герба при бросании монеты, выигрыш при игре в лотерею, попадание в цель при выстреле и т. д.
Перечисленные выше события могут произойти в опытах, которые можно повторить (в принципе) неограниченное число раз (подсчитать количество студентов на лекции, подбросить монету, купить лотерейный билет, произвести выстрел).
Случайные события, которые могут наступить в таких опытах, называют массовыми.
Примером не массового (единичного) события является такое случайное событие: "15 мая 2002 года в Брянске будет дождь". Это событие не массовое, поскольку данный опыт воспроизвести еще раз невозможно, так как 15 мая 2002 года наступает только один раз.
Классическое определение вероятности.
Определение 9. Случайное событие, которое может произойти в результате данного опыта, называется элементарным, если оно не может быть представлено в виде суммы двух несовместных случайных событий. Множество всех элементарных событий для данного опыта называется пространством элементарных событий, которое мы будем обозначать буквой W.
Мы будем рассматривать только такие опыты (испытания), для которых выполняются следующие два условия:
а) Общее число несовместных элементарных событий конечно (то есть множество W -конечно);
б) Осуществление каждого элементарного события равновозможно, то есть условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо элементарного события перед другими.
Пример 8.Опыт состоит в бросании двух игральных кубиков. Элементарное событие состоит в выпадении упорядоченной пары (m, n) на первом и втором кубике соответственно, где m, nÎNи m£6, n£6. Пространство W={(1,1),(1,2),(1,3),¼,(6,6)} состоит из 36 элементарных событий.
Будем обозначать элементарные события w1,w2,¼,wn.Тогда W={w1,w2,¼,wn}.
Замечание 1.Легко видеть, что любое случайное событие A является подмножеством пространства элементарных событий W.
Например, если в опыте из примера 8 рассмотреть событие A, состоящее в том, что сумма выпавших очков не меньше 10, то
A={(5,5), (5,6), (6,5), (6,6),(4,6),(6,4)}. (1)
Определение 10. Говорят, что элементарное событие wkÎW благоприятствует событию A, если наступление события wk влечёт за собой наступление события A (то есть wkÎA).
Например, элементарное событие (5,6) благоприятствует случайному событию A из предыдущего примера.
Замечание 2.Согласно замечанию 1 случайное событие A как подмножество W состоит из случайных элементарных событий, благоприятствующих A .
Определение 11. (Классическое определение вероятности)
ВероятностьюP(A) события A называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий, т. е.
. (2)
Замечание 3. Если воспользоваться обозначениями из пункта 2 §2, то
. (3)
Напомним, что числа ½A½ и ½W½ есть количество элементов во множествах
Относительная частота.
Функция Лапласа и ее свойства.
В этом параграфе мы рассмотрим одну стандартную ситуацию, которая может возникнуть при решении практических задач.
Примеры дискретных случайных величин.
Приведем примеры часто встречающихся случайных величин.
1. Равномерно распределенная случайная величина.
Определение. Случайная величина X называется равномерно распределенной, если она принимает конечное число значений с одинаковой вероятностью, то есть закон распределения имеет вид.
X | x1 | x2 | ... | xn |
P | p | p | ... | p |
где pn = 1, то есть .
Задача. Доказать, что .
Пример. Бросается игральный кубик. Случайная величина X равна числу выпавших очков. Закон распределения X имеет вид
X | ||||||
P |
2. Биномиальное распределение.
Производится n независимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью p может наступить некоторое событие A. Случайная величина X равна числу наступлений события A в n опытах. Закон распределения случайной величины X имеет вид
X | ... | k | ... | n – 1 | n | |||
P | Pn(0) | Pn(1) | Pn(2) | ... | Pn(k) | ... | Pn(n – 1) | Pn(n) |
где по формуле Бернулли
.
Задача.Доказать, что
3. Геометрическое распределение.
Рассмотрим схему Бернулли. Пусть и Случайная величина X равна количеству испытаний до первого наступления события .
Очевидно, что X может принимать любое значение Легко видеть, что случайная величина X примет значение если наступит событие Так как все испытания независимы, то
Поэтому закон распределения имеет вид
Задача.Доказать, что
4. Распределение Пуассона.
Определение.Говорят, что дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если ее закон распределения имеет вид
Здесь λ > 0.
Задача.Доказать, что
Тема 6: Функция распределения случайной величины.
Примеры непрерывных случайных величин.
Среднеквадратичное отклонение.
Определение характеристик случайных величин
– Конец работы –
Используемые теги: Классическое, определение, вероятности0.06
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Классическое определение вероятности
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов