Определение.Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке , если она имеет плотность вероятности следующего вида:
где График изображен на рисунке.
Пусть отрезок и длина его равна Тогда
Таким образом, вероятность попаданий значений X в любую часть отрезка пропорционально длине этой части.
Приведем пример равномерно распределенной случайной величины.
Пусть есть интервал движения между троллейбусами на городской линии. Пусть случайная величина X равна времени ожидания троллейбуса на остановке. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке
Нормально распределенная величина.
На практике широко распространены случайные величины, плотность распределения вероятности которых определяется функцией
где и - некоторые постоянные числа и . В этом случае говорят, что случайная величина X распределена по закону Гаусса или по нормальному закону.
Утверждение.Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины удовлетворяет свойству .
Доказательство.
.
(см. замечание на стр. 18). Утверждение доказано.
Если X есть нормально распределенная величина с параметрами и , то говорят, что X распределена по закону
График плотности вероятности нормального распределения называют нормальной кривой.
Он симметричен относительно прямой и при достигает максимума. При увеличении кривая становится более пологой. На рисунке представлены нормальные кривые при При любом площадь под кривой, согласно свойства , равна 1.
Задача. Доказать, что точки являются точками перегиба.
Утверждение.Если X распределена по закону , то
(10)
где есть функция Лапласа, определенная на стр. 62.
Доказательство.
=
Утверждение доказано.
Следствие.Если X распределена по закону , то
(11)
Доказательство.
Согласно (10)
где найдено по таблице.
Утверждение доказано.
Таким образом, событие, состоящее в том, что является практически достоверным. Это правило называется «правилом трех сигм».
Нормально распределенные случайные величины играют важную роль в теории вероятностей. Дело в том, что распределение многих случайных величин, встречающихся в жизни, близко к нормальному распределению. Этот факт является следствием Центральной предельной теоремы теории вероятностей, которую доказал в 1901 году выдающийся русский математик А.М. Ляпунов. В общих чертах содержание формулировки Центральной предельной теоремы может быть высказано следующим образом.
Распределение суммы большого числа независимых случайных величин (не обязательно нормально распределенных) при весьма общих условиях близко к нормальному распределению.
Этим и определяется особая роль, нормально распределенных случайных величин, поскольку с суммами большого числа случайных слагаемых приходится часто иметь дело и в самой теории вероятностей и в ее приложениях.
Проиллюстрируем вышесказанное на следующем примере. Рассмотрим производство, на котором изготовляются большие партии однотипных изделий. Все наиболее существенные характеристики выпускаемых изделий должны соответствовать определенному стандарту. Однако в действительности наблюдаются отклонение от стандарта, которые порождаются причинами случайного характера (следует учесть, что выпуск изделий связан , как правило, со многими операциями, некоторые из которых не могут быть выполнены абсолютно точно). Каждая из этих причин сама по себе порождает ничтожную ошибку X , но, складываясь, такие ошибки, могут давать ощутимые отклонения от стандарта. Здесь, опираясь наЦентральную предельную теорему, можно утверждать, что суммарное отклонение от стандарта представляет случайную величину, закон распределения которой близок к нормальному закону распределения.
Можно привести много подобных примеров из жизни. Они объясняют, почему нормальный закон так часто встречается в практических задачах.
Тема 5: Числовые характеристики случайных дискретных величин: математическое ожидание, дисперсия,