Равномерное распределение на отрезке.

Определение.Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке , если она имеет плотность вероятности следующего вида:

где График изображен на рисунке.

Пусть отрезок и длина его равна Тогда

Таким образом, вероятность попаданий значений X в любую часть отрезка пропорционально длине этой части.

Приведем пример равномерно распределенной случайной величины.

Пусть есть интервал движения между троллейбусами на городской линии. Пусть случайная величина X равна времени ожидания троллейбуса на остановке. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке

Нормально распределенная величина.

На практике широко распространены случайные величины, плотность распределения вероятности которых определяется функцией

где и - некоторые постоянные числа и . В этом случае говорят, что случайная величина X распределена по закону Гаусса или по нормальному закону.

Утверждение.Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины удовлетворяет свойству .

Доказательство.

.

(см. замечание на стр. 18). Утверждение доказано.

Если X есть нормально распределенная величина с параметрами и , то говорят, что X распределена по закону

График плотности вероятности нормального распределения называют нормальной кривой.

Он симметричен относительно прямой и при достигает максимума. При увеличении кривая становится более пологой. На рисунке представлены нормальные кривые при При любом площадь под кривой, согласно свойства , равна 1.

Задача. Доказать, что точки являются точками перегиба.

Утверждение.Если X распределена по закону , то

(10)

где есть функция Лапласа, определенная на стр. 62.

Доказательство.

=

Утверждение доказано.

Следствие.Если X распределена по закону , то

(11)

Доказательство.

Согласно (10)

где найдено по таблице.

Утверждение доказано.

 

Таким образом, событие, состоящее в том, что является практически достоверным. Это правило называется «правилом трех сигм».

 

Нормально распределенные случайные величины играют важную роль в теории вероятностей. Дело в том, что распределение многих случайных величин, встречающихся в жизни, близко к нормальному распределению. Этот факт является следствием Центральной предельной теоремы теории вероятностей, которую доказал в 1901 году выдающийся русский математик А.М. Ляпунов. В общих чертах содержание формулировки Центральной предельной теоремы может быть высказано следующим образом.

Распределение суммы большого числа независимых случайных величин (не обязательно нормально распределенных) при весьма общих условиях близко к нормальному распределению.

 

Этим и определяется особая роль, нормально распределенных случайных величин, поскольку с суммами большого числа случайных слагаемых приходится часто иметь дело и в самой теории вероятностей и в ее приложениях.

 

Проиллюстрируем вышесказанное на следующем примере. Рассмотрим производство, на котором изготовляются большие партии однотипных изделий. Все наиболее существенные характеристики выпускаемых изделий должны соответствовать определенному стандарту. Однако в действительности наблюдаются отклонение от стандарта, которые порождаются причинами случайного характера (следует учесть, что выпуск изделий связан , как правило, со многими операциями, некоторые из которых не могут быть выполнены абсолютно точно). Каждая из этих причин сама по себе порождает ничтожную ошибку X , но, складываясь, такие ошибки, могут давать ощутимые отклонения от стандарта. Здесь, опираясь наЦентральную предельную теорему, можно утверждать, что суммарное отклонение от стандарта представляет случайную величину, закон распределения которой близок к нормальному закону распределения.

Можно привести много подобных примеров из жизни. Они объясняют, почему нормальный закон так часто встречается в практических задачах.

Тема 5: Числовые характеристики случайных дискретных величин: математическое ожидание, дисперсия,