Принятие решений при многих критериях.

В большинстве практических задач оценивание альтернатив по одному критерию оказывается упрощенным и малопригодным. Поэтому возникает необходимость их оценивания не по одному, а по нескольким качественно различным критериям, например, техническим, экономическим, социальным, экологическим и др. Гипотетически одна из альтернатив может оказаться лучшей по всем критериям. Очевидно, что она и будет наилучшей.

На рис. приведена классификация многокритериальных задач принятия решения.

Рис. Классификация многокритериальных задач принятия решений

Рассмотрим наиболее употребляемые методы решения многокритериальных задач.

Отбор недоминируемых альтернатив

Критерий выбора альтернатив задается вектором оценки , где f_j – оценка возможного решения по критерию с номером j. В результате этого сравнение любых двух решений заменяется сравнением их векторных оценок. Сравнение векторных оценок осуществляется на основании принципа доминирования по Парето.

Векторную оценку называют доминирующей по Парето векторную оценку , если для всех j = 1, 2, …, m выполняется неравенство f_j ≥ g_j, причем хотя бы для одного значения j последнее неравенство строгое. В результате сравнения решений все доминируемые (худшие по всем критериям) альтернативы отбрасываются, а все прочие (недоминируемые) оставляются. Они образуют множество недоминируемых альтернатив или множество Парето-оптимальных решений.

Пусть имеется некоторое множество Q векторных оценок. Векторная оценка из этого множества называется Парето-оптимальной, если в Q не существует никакой другой векторной оценки, доминирующей по Парето данную оценку. Парето-оптимальность оценки означает, что она не может быть улучшена ни по одному из критериев, составляющих векторную оценку, без ухудшения, по какому-либо другому критерию, входящему в векторную оценку.

Для любых двух Парето-оптимальных оценок всегда найдутся такие два критерия, по одному из которых предпочтительнее первый исход, а по другому – второй. В такой ситуации для принятия решения выбор оптимального решения из множества Парето-оптимальных осуществляет ЛПР или на основе дополнительной информации выполняется сужение множества Парето-оптимальных решений с помощью формальных и эвристических процедур. Рассмотрим некоторые из этих процедур.

Указание границ критериев

Дополнительная информация о некоторых оптимальных решениях задается указанием границ критериев. Например, в случае поиска решения, доставляющего максимум по всем критериям, такие неравенства имеют вид f_j(a) ≥ q_j, , где q_j – нижняя граница критерия с номером j. При задании нижних границ критериев оптимальным считается только такое Парето-оптимальное решение, у которого по каждому из критериев с заданными нижними границами оценки не ниже этих оценок. В результате Парето-оптимальное множество сужается, однако, окончательный выбор остается за ЛПР.

Субоптимизация

В этом случае из множества критериев выбирается один, наиболее важный, а по остальным назначаются границы. В качестве оптимального принимается решение, оптимальное по выбранному критерию при условии выполнения всех неравенств, определяющих границы остальных критериев. В результате применения этой процедуры задача многокритериальной оптимизации сводится к задаче однокритериальной оптимизации на суженном допустимом множестве. Выбор наиболее значимого критерия и назначение границ остальных критериев носит субъективный характер.

Лексикографическая оптимизация

Все критерии ранжируются и упорядочиваются по их относительной важности. Затем отбираются все решения, которые имеют оптимальную оценку по важнейшему критерию. Если такое решение одно, то его и считают оптимальным. Если таких решений несколько, то среди них выбирают те, которые имеют оптимальную оценку по второму важнейшему критерию и т. д., пока не останется единственное решение. Ранжирование критериев в этой процедуре играет важнейшую роль, так как первый, принятый за важнейший, критерий в значительной мере определяет выбор оптимального решения.

Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

Многокритериальные задачи принятия решений могут быть сведены к однокритериальным. Для этого множество заданных критериев необходимо преобразовать в один обобщенный критерий, выражающий, с точки зрения ЛПР, полезность заданной системы критериев. Основная трудность решения этой задачи состоит в необходимости соизмерения критериев, имеющих различную природу и определяемых в различных шкалах. Если эта трудность разрешена и все исходные критерии W_i (i =1,2,...,k) выражены в соизмеримых единицах, то для построения обобщенного критерия наиболее часто используются следующие варианты.

1. Обобщенный критерий представляется дробью

в числителе дроби ставят те критерии, которые желательно увеличить, а в знаменателе – те, которые желательно уменьшить (например, отношение эффективность / стоимость).

2. Обобщенный критерий представляется в виде взвешенной суммы отдельных критериев эффективности

где a_i – весовые коэффициенты, имеющие знак «+» при тех критериях, которые желательно увеличить, и знак «–» – при тех, которые желательно уменьшить.

Общим недостатком составных критериев является то, что недостаток эффективности по одному из них всегда можно компенсировать за счет другого. Поэтому их использование может привести к неправильным рекомендациям.

3. Из множества показателей эффективности выделяют один, наиболее важный и стремятся получить оптимальное решение лишь по этому единственному критерию. На остальные показатели эффективности накладывают ограничения вида:

и включают в число заданных условий.

4. Показатели эффективности располагают в порядке убывающей важности. Для простоты будем считать, что каждый из них нужно обратить в максимум (если это не так, достаточно изменить знак показателя). Сначала ищется решение, обращающее показатель W₁ в максимум. Затем назначается, исходя из практических соображений и точности исходных данных, некоторая уступка ∆W₁, ценой которой можно добиться максимума показателя W₂, т. е. на W₁ накладывается ограничение W₁ ≥ W₁* − ∆W₁ , где W₁* – максимально возможное значение W₁, и при этом ограничении ищем решение, при котором достигается максимум показателя W₂. Этот процесс продолжается по мере необходимости. Этот метод поиска компромиссного решения хорош тем, что всегда известно, ценой какой уступки в одном показателе достигается выигрыш в другом. Значение уступки определяет ЛПР.

С формальной точки зрения построение обобщенного критерия представляет собой процедуру агрегирования частных критериев в один критерий. Главное требование, выполнение которого необходимо, состоит в сохранении для обобщенного критерия отношения доминирования. Это значит, что

где F – агрегат-оператор обобщенного критерия. Рассматривая обобщенный критерий как функцию m переменных (частных критериев), определим для нее поверхности уровня:

F(W₁, W₂, ..., W_m) = c

При любых значениях частных критериев, удовлетворяющих данному уравнению, обобщенный критерий не изменяет своего значения, равного c. Используя это обстоятельство, можно изменять значения частных критериев, сохраняя неизменным значение обобщенного критерия.

Когда мера эффективности критериев выражена в разнородных единицах, например, денежных и временных, то их необходимо привести к стандартной мере эффективности или преобразовать в безразмерные.