Рассмотрим множество . Рассмотрим часть элементов множества . Эта часть элементов множества также образует множество. Такое множество называют подмножеством множества .
Множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества является также элементом множества . В сокращенной форме это записывают так и читают,
<< есть подмножество >> или << содержится в >>.
Исходя из определения подмножества, заключаем, что само множество является собственным подмножеством. Поэтому можно записать как .
Тот факт, что рассматриваемое подмножество множества может совпадать с множеством , отношение <<быть подмножеством>> записывается также как . Альтернативно используют запись или . В этом случае говорят, что множество содержит подмножество .
Пусть имеется множество всех подмножеств множества . Обозначим его как .
Пусть, например, имеется множество . Тогда имеем
.
Важным понятиям в теории множеств является понятие универсального множества, или универсума. Универсальным называют множество, элементами которого являются все множества некоторой задачи или теории. Будем обозначать универсальное множество знаком . Если и есть любые два множества, то .
Для наглядного изображения множеств используются диаграммы Эйлера-Вьенна.
На каждой такой диаграмме прямоугольником изображают универсальное множество . Все другие множества, которые являются подмножествами универсального множества, изображают внутри прямоугольника в виде некоторой его части, ограниченной замкнутой линией. Из диаграммы Эйлера-Венна, представленной на рисунке видно, что множество является подмножеством множества . Множества и не имеют общих элементов с множествами и . Множества и напротив, имеют общие элементы, принадлежащие как множеству , так и множеству .