Основные социально-экономические задачи, решаемые с привлечением тео­ретико-вероятностных методов и моделей

Введение

Основные социально-экономические задачи, решаемые с привлечением тео­ретико-вероятностных методов и моделей

Ежедневно в нашей жизни нам приходится принимать решения - как большие, так и малые, связанные с бизнесом, с личными и общественными делами. В древности люди принимали решения, основываясь на интуиции, заключениях астрологов, прорицателей и т. п. Развитие науки, усложнение экономических и социальных отношений привели к разработке специальной области научных знаний — теории принятия решения в условиях неопреде­ленности, основанной, прежде всего на теории вероятностей и математиче­ской статистике.

Появился новый раздел специальной литературы, посвященный управле­нию рисками и производными финансовыми инструментами, такими, как опционы, фьючерсы и свопы. Дальнейшие научные разработки сопровождались значительным увеличением числа работающих на финансовых рынках, в сфере финансовых услуг, занимающихся экономическими задачами. С раз­витием новых сфер в финансовой практике — работой с деривативами, управлением финансовыми рисками, количественным анализом инвестиций — все более возросла потребность в развитии практических навыков приме­нения количественных методов.

Опционы, фьючерсы и свопы – это так называемые финансовые инструменты.

Опцио́н (лат. optio — выбор, желание, усмотрение) — договор, по которому потенциальный покупатель или потенциальный продавец актива (товара, ценной бумаги) получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу данного актива по заранее оговорённой цене в определённый договором момент в будущем или на протяжении определённого отрезка времени. При этом продавец опциона несёт обязательство совершить ответную продажу или покупку актива в соответствии с условиями проданного опциона.

Опцион — это один из производных финансовых инструментов. Различают опционы на продажу (put option), на покупку (call option) и двусторонние (double option). Опционы и фьючерсы во многом сходные финансовые инструменты, но имеют некоторые принципиальные отличия.

 

Фьючерс и Форвард

Фьючерс можно рассматривать как стандартизированную разновисть форварда, который обращается на организованном рынке со взаимными расчётами,… Главное отличие форвардного и фьючерсного контрактов состоит в том, что…

Форвард

ФОРВАРД (англ. forward — вперед) — форма срочных, оперативных расчетов, производимых не более чем через два рабочих дня после заключения сделки. Обычно форвардные сделки заключаются, совершаются банками, торгово-промышленными фирмами с целью избежать возможных убытков от колебания, изменения цен, курсов валют.

Своп

(из экономического словаря)

СВОП — торгово-финансовая обменная операция, в виде обмена разнообразными активами, в которой заключение сделки о купле (продаже) ценных бумаг, валюты сопровождается заключением контрсделки, сделки об обратной продаже (купле) того же товара через определенный срок на тех же или иных условиях

 

Своп

(из словаря Википедия)

Своп (англ. swap — дословно меняться, менять) — русский жаргонизм, означающий:

· Своп (финансы) — операция по обмену активами.

· Процентный своп (англ. en:interest rate swap )

· Валютный своп (англ. Currency swap)

· Своп на акции (англ. en:stock swap )

· Своп на драгоценные металлы

· Кредитный дефолтный своп

· Свопцион

· Сделка РЕПО

· Своп (компьютеры) — операция по обмену страницами памяти с внешними ОЗУ.

· Своп (автомобили) — операция по замене узла автомобиля.

 

Дериватив

Определение термина Дериватив

  Теория вероятностей – одна из базовых дисциплин, которая вместе с… Статистический анализ можно разделить на два вида — описательный и имеющий целью делать какие-либо выводы.…

Эконометрика

Статистические (эконометрические) методы используются в зарубежных и отечественных экономических и технико-экономических исследованиях, работах по…   Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Понятие множества и способы его задания

Понятие множества является первичным в математике. Поэтому его нельзя определить с помощью других более простых понятий. Интуитивно множество рассматривают как нечто целое, состоящее из объектов, которые называют элементами. Иногда множество рассматривают как объединение различных объектов, обладающих каким - то общим признаком. Природа этих объектов может быть произвольной. Например, книги в библиотеке. При этом мы отвлекаемся от того какие это книги; художественная литера­тура, учебники по каким – то дисциплинам и т.п.

Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита:

. Если необходимо, то используют индексы при обозначении мно­жеств: и так далее. Для обозначения элементов множеств используют малые буквы латинского алфавита: , также возможно с индексами:

и т.д.

Принадлежность элемента множеству записывается так: . Эта запись читается так: элемент принадлежит множеству . Здесь есть символ принадлежности. Если элемент не входит в состав множества , записывают и читают элемент не принадлежит множеству . Полагают, что всякое множество имеет лишь один экземпляр одного и того же элемента, если иное не оговорено. Если множество имеет несколько экземпляров одного и того же элемента его называют мультимножеством.

Способы задания множеств различные. Наиболее простой способ задать множество – перечислить все составляющие его элементы:

 

Это задание множества в явной форме. Кроме того множество можно задать если указать условие или свойство , которому должны удовлетворять все элементы задаваемого множества. Свойство называют предикатом. Это свойство позволяет из всей совокупности объектов любого происхождения распознать элементы данного множества.

Пусть это свойство задано предикатом , который является сокращенной записью предложения, << есть чётное число>>. В этом случае имеет место запись

.

Эта запись читается так: множество состоит из элементов таких, что (что есть чётное число). Вместо вертикальной черты, отделяющей обозначение элемента множества от свойства элементов множества, используется также двоеточие:

.

Иногда свойство, которым обладают элементы рассматриваемого множества, задают формулой

.

Здесь обозначает множество всех действительных чисел.

В математике рассматриваются также множество, не имеющее элементов. Такое множество называют пустым и обозначают . Например, множество

. Здесь - множество действительных чисел.

Множества между собой могут находиться в различных отношениях.

Два множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Этот факт записывают так: . Пусть

и .

В этом случае имеем: .

Подмножества

Множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества является также элементом множества . В сокращенной форме это… << есть подмножество >> или << содержится в … Исходя из определения подмножества, заключаем, что само множество является собственным подмножеством. Поэтому можно…

Операции над множествами

На множествах определяют некоторые теоретико-множественные операции. Результат таких операций – новое множество.

Рассмотрим наиболее важные из этих операций.

Объединением множеств и называют множество , состоящее из элементов принадлежащих множествам или , что обозначается:

.

Таким образом, множество можно задать следующим образом:

.

Результат операции объединения представим диаграммой Эйлера-Вьенна.

Результат объединения множеств

Результат операции объединения множеств и представлен на рисунке в виде заштрихованной области.

Пересечением множеств и называют множество , состоящее из элементов, которые являются общими для множеств и .

Обозначают так:

.

Множество можно задать следующим образом:

.

Результат операции пересечения множеств и можно представить на диаграмме Эйлера-Вьенна как общую часть областей, изображающих эти множества.

Результат пересечения множеств

Эта область на рисунке заштрихована.

Разностью множеств и называют множество , состоящее из таких элементов множества , которые не являются элементами множества .

Обозначают так:

.

Множество можно задать также следующим образом:

.

Результат разности множеств .

Результат разности множеств и представлен на диаграмме Эйлера-Вьенна как часть множества , которая не имеет общих элементов с множеством .

Дополнением множества называют множество , которое является разностью универсального множества и множества , то есть

.

Множество можно задать следующим образом:

.

Дополнение множества

Дополнение множества представлено на диаграмме Эйлера-Венна как часть множества , которая не имеет общих элементов с множеством . область на рисунке заштрихована.

Свойства операций над множествами

Основные из этих свойств следующие: 1. Коммутативность: ;

Вероятностное пространство

Случайные события и операции над ними

Для того чтобы формально описать некоторый эксперимент, т.е. создать математическую модель некоторой экономической ситуации, нужно указать все возможные варианты исхода, которыми может за­кончиться эксперимент. Считается, что в результате эксперимента должен произойти только один из этих возможных исходов.

Определение. Совокупность всех возможных исходов эксперимента называют пространством элементарных событий данного эксперимента и обозначают , а каждый исход называется элементарным событием.

Если все эти исходы можно перечислить: или , то такое пространство называется дискретным (конечным или счетным).

Рассмотрим несколько примеров экспериментов и соответствующих им пространств элементарных событий.

1. Подбрасывание монеты: ( - выпадение герба, - вы­падение решки).

2. Выбрасывание одной игральной кости:

.

3.Четырёхкратное бросание игральной кости:

.

4.Проверка (по альтернативному признаку) одного изделия, случайно отобранного из продукции массового производства: .

5.Проверка (по альтернативному признаку) изделий, случайно отобранных из продукции массового производства: , где — число обнаруженных дефектных деталей.

6.Проверка (по альтернативному признаку) двух выборок, состоящих соответственно из , и , изделий, случайно отобранных из продукции массового производства:

.

Кроме элементарных событий, рассматриваются так называемые сложные события.

Например, события — выпадение четного числа очков, — выпавшее число очков не превзойдет трех — запишутся соответственно, и .

Определение. В случае конечного или счетного пространства элементарных событий событием называется любое подмножество пространства элементарных событий .

Осуществление любого из элементарных событий, входящих в , влечет за собой осуществление события : говорят, что событие произошло, если эксперимент закончился элементарным исходом .

Введем некоторые соотношения между событиями.

Если при каждом осуществлении эксперимента, при котором происходит событие происходит также и событие , то говорят, что событие влечет за собой событие , и это обстоятельство обозначается , т.е. событие принадлежит событию .

Если событие влечет за собой событие и в то же время событие влечет за собой событие , то говорят, что события и равносильны: .

Объединением (суммой) событий и называется событие , которое происходит тогда, когда наступает хотя бы одно из событий или .

Пересечением (произведением), событий и называется событие, которое наступает тогда, когда происходят и событие , и событие одновременно.

Операция вычитания множеств

В теории меры используется симметричная разность двух множеств и . Симметричная разность определяется как сумма разностей и .    

Принцип двойственности

1. Дополнение суммы равно пересечению дополнений (3) 2. Дополнение пересечения равно сумме дополнений

Вероятность в дискретном пространстве

Элементарных событий.

и сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходов равна единице: , т.е. вероятность события – это числовая функция,… Определение. Вероятностью события называется сумма вероятностей всех… 1) если - если пространство элементарных событий, то ;

Классическая вероятностная модель

Простейшей математической моделью дискретного случайного эксперимента является так называемая <<классическая>> модель, в которой пространство элементарных исходов – конечное множество, и вероятности всех элементарных исходов равны. Если любые элементарные события равновероятны, то пространство элементарных событий называется симметричным.

Пусть число элементарных событий <<симметричного>> эксперимента конечно и равно , т.е. пространство элементарных событий . Обозначим вероятности элементарных исходов для любого . Тогда

и для любого получаем, что вероятность элементарного исхода равна .

Если имеется равновозможных элементарных исходов, то вероятность любого сложного события , состоящего из элементарных исходов, по определению вероятности события, равна

,

т.е. в рамках классической модели вероятности события она определяется как отношение числа элементарных исходов, благоприятных событию , к общему числу элементарных исходов:

.

Отсюда в частности, следует, что вероятность полного события , включающего все элементарных событий равна единице:

, т.е. - достоверное событие. Это определение – результат принятия гипотезы равновероятности элементарных событий.

Рассмотрим следующий пример. В случае с игральной костью при одном бросании равновозможно выпадение любой из шести граней, на которых нанесены цифры . Пространство элементарных событий

и вероятность любого равна . Пусть событие - выпадение чётного числа очков, т.е. появления одного из элементарных событий . Тогда .

Комбинаторика

Делают это обычно комбинаторными методами. Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов… Многие комбинаторные задачи можно решить с помощью двух важных правил, называемых соответственно правилами сложения и…

Схема выбора без возвращений

Пусть дано множество, состоящее из различных элементов.

Размещением из элементов по элементов называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее элементов.

Из определения вытекает, что размещения – это выборки (комбинации), состоящие из элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из элементов по элементов обозначается символом (<<A из эн по эм>>) и вычисляется по формуле

 

или

, где , , .

Для составления размещения надо выбрать элементов из множества с элементами и упорядочить их, т.е. заполнить мест элементами множества. Первый элемент можно выбрать способами, т.е. на первое место можно поместить любой из элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов способами. Для выбора третьего элемента имеется способа, четвёртого - способа, и, наконец, для последнего - ого элемента - способов. Таким образом, по правилу умножения, существует способов выбора элементов из данных элементов, т.е. .

Пример 3. Составить различные размещения по из элементов множества ; подсчитать их число.

Из трёх элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: , , , , , . Число размещений из трёх по два равно .

Перестановкой из элементов по элементов. Число перестановок по из элементов обозначается символом (<<пэ из эн>>) и вычисляется по формуле

.

Эта формула следует из определения перестановки:

.

Пример 4. Составить различные перестановки из элементов множества ; подсчитать их число.

Из элементов данного множества можно составить следующие перестановки: , , , , , . По формуле для расчёта перестановок имеем: .

Пример 5. Сколькими способами можно расставить на полке различных книг?

Искомое число способов равно числу перестановок из элементов (книг), т.е. .

Сочетанием из элементов по ( ) элементов называется любое подмножество, которое содержит элементов данного множества.

Из определения вытекает, что сочетания – это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из элементов по обозначается символом

(<<цэ из эн по эм>>) и вычисляется по формуле.

 

или

.

Число размещений из элементов по можно найти следующим образом: выбрать элементов из множества, содержащего элементов (это можно сделать способами); затем в каждом из полученных сочетаний (подмножеств) сделать все перестановки для упорядочения подмножеств (это можно сделать способами). Следовательно, по правилу умножения, можно записать: . Отсюда .

Запишем следующее очевидное выражение

 

По существу эта формула представляет собой выражение для числа перестановок из элементов. Эта формула записана справа налево. Из этой формулы следует, что . Из этого соотношения следует, что .

С учётом последнего соотношения запишем

 

Имеют место формулы:

 

Эта формула доказывается очень просто. В выражении следует положить .

.

.

, .

Формула выражает число всех подмножеств из элементов (оно равно . Числа являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона:

.

Пример 5. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества

; подсчитать их число.

Из трёх элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: . Их число .

Пример 6. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать 1 красную гвоздику и розовых?

Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 цветка из вазы, в которой 14 гвоздик, можно способами. .

Далее: красную гвоздику можно выбрать способами. Выбрать две розовые гвоздики из имеющихся четырёх можно

способами. Поэтому букет из одной красной и двух розовых гвоздик можно составить, по правилу умножения,

способами.

Схема выбора с возвращениями

Если при выборке из элементов из элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений из элементов по с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле

.

Отметим следующее, в схеме выбора без возвращений размещение такое, что . В схеме выбора с возвращением такого ограничения нет!

Пример 7. Из 3 элементов составить все размещения по два элемента с повторениями.

Число размещений с повторениями . Приведём эти способы размещений с повторениями: .

Пример 8. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры: а) 2, 5, 7, 8; б) 0, 1, 9?

а) Все пятизначные числа, составленные из цифр 2, 5, 7, 8,отличаютсядруг от друга либо порядком их следования (например, 25558 и 52855), либо самими цифрами (например, 52788 и 78888). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т.е. . Таким образом, искомое число пятизначных чисел равно . Этот же результат можно получить, используя правило умножения: первую цифру в пятизначном числе можно выбрать четырьмя способами, вторую - тоже четырьмя способами, третью – четырьмя, четвёртую – четырьмя, пятую – четырьмя. Всего получается пятизначных чисел.

б) Если пятизначные числа состоят из цифр 0, 1, 9, то первую цифру слева можно выбрать двумя способами ( не может занимать первую позицию), каждую из оставшихся четырёх цифр можно выбрать тремя способами. Согласно правилу умножения, таких чисел будет .

(Иначе .).

Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно без последующего упорядочения, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Число сочетаний из элементов по с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле

.

Напомним, что в схеме выбора без возвращений величина такая, что . В схеме выбора с повторениями должно быть или . Другими словами в этой схеме возможно неравенство .

Пример 9. Из трёх элементов составить все сочетания по два элемента с повторениями.

Это число сочетаний по два с повторениями равно . Составляем эти сочетания с повторениями: .

Пример 10. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трёх сортов?

Рассматриваемое множество состоит из трёх различных элементов, а выборки имеют объём, равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трёх элементов по 5 в каждом. Поэтому число букетов можно подсчитать по формуле

.

Пусть в множестве с элементами есть различных элементов, при этом 1-ый элемент может повторяться раз, 2-ой элемент - раз …, -й элемент - раз, причём .

Перестановки из элементов данного множества называют перестановками с повторениями из элементов.

Число перестановок с повторениями из элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

.

Пример 11. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3,3,5,5,8?

Заметим, что , , . Далее .

Число чисел можно рассчитать по формуле

.

Условная вероятность

В соответствии с частотной интерпретацией вероятности при частота события стремится к вероятности события . Покажем, что условная частота… . Предел условной частоты называется условной вероятностью события при условии и обозначается . Тогда из…

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие может произойти с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместимых событий. События называются гипотезами. Теорема (формула полных вероятностей). Пусть событие может произойти при условии появления одной из гипотез .…

Вероятностные пространства общего вида.

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Покажем, что если в качестве взять ненулевое число, то получим противоречие с основными свойствами вероятностей. Действительно, пусть событие … В случае дискретного пространства построение теории состояло из следующих…