Разностью множеств и называется совокупность тех элементов из , которые не содержатся в . При этом не предполагается, что . Иногда вместо выражения используется соотношение .
В теории меры используется симметричная разность двух множеств и .
Симметричная разность определяется как сумма разностей и .
На этом рисунке заштрихованная область представляет собой разность множеств и .
На этом рисунке заштрихованная область представляет собой симметричную разность множеств и .
Таким образом, по определению
(1)
Упражнение. Показать, что
(2)
Пусть элемент принадлежит множеству, стоящему в правой части равенства (1) . Это означает, что входит в ту часть множества, которая не содержится в или входит в ту часть множества, которая не содержится в . C другой стороны множество состоит из элементов принадлежащих хотя бы одному из множеств и . Кроме того множество состоит из элементов, принадлежащих как так и . По определению разности двух множеств и - это совокупность тех элементов, из которые не содержатся в . Из сказанного ясно, что если из объединения множеств и вычесть их пересечение, то оставшаяся часть элементов полученного множества как раз и представляет собой симметрическую разность двух множеств и .
В дальнейшем будут рассматриваться различные множества такие, что все они являются подмножествами некоторого основного множества . Например, различные множества точек на числовой прямой. В этом случае разность для каждого называется дополнением множества и часто обозначается или . Для дополнения также используют обозначение .