Принцип двойственности основан на следующих двух соотношениях:
1. Дополнение суммы равно пересечению дополнений
(3)
2. Дополнение пересечения равно сумме дополнений
(4)
Принцип двойственности состоит в том, что из любой теоремы, относящейся к системе подмножеств фиксированного множества , совершенно автоматически может быть получена другая – двойственная – теорема путём замены множеств – их пересечением, а пересечения суммой. Докажем соотношение (3).
Пусть . Это означает, что не входит в объединение ,
т.е. не входит ни в одно из множеств . Следовательно, принадлежит каждому из дополнений и поэтому . Обратно, пусть
, т.е. входит в каждое ; тогда не входит ни в одно из множеств , т.е. не принадлежит их сумме , а тогда . Равенство (3) доказано.
Отношения между событиями можно интерпретировать как соотношения между множествами. Ранее в нашем курсе использовалась графическая модель, которая называлась диаграммой Эйлера-Вьенна.
Отношения между событиями можно интерпретировать как соотношения между множествами. Поэтому введенные ранее отношения между множествами можно переформулировать и сказать, что это отношения между событиями.
Таким образом, разностью двух событий и называется такое событие
, которое состоит в том, что происходит событие и не происходит событие .
Событие называется дополнительным (дополнением) к событию , если оно происходит всякий раз, когда не происходит событие . События и называются противоположными событиями.
Симметрической разностью событий и называется событие , в которое входят те элементарные события, которые входят или в или в , но не входят в их пересечение . Диаграмма Эйлера-Вьенна для симметрической разности была приведена ранее.
<<Множество>>, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .
Два события и называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого. Очевидно, если события и несовместны, их пересечение является невозможным событием: .
События образуют полную группу событий, если в результате эксперимента непременно произойдет, хотя одно из них. В этом случае их сумма является достоверным событием. Например, событие несовместно с событием и вместе с ним образует полную группу.
В разделе подмножества рассматривается понятие универсального множества, или универсума. Универсальным называется множество, элементами которого являются все множества некоторой задачи или теории. Очевидно, что в теории вероятностей универсальным множеством является множество (пространство) элементарных событий . Полагая , перепишем свойства операций над множествами в следующем виде.
1. Операции объединения с множеством элементарных событий и пустым множествами:
Сюда же включим идемпотентность .
2. Операции пересечения с множеством элементарных событий и пустым множествами:
Сюда же включим идемпотентность .
3. Законы дополнения:
.
4. Принцип двойственности, или формулы де Моргана.
5. Коммутативность операций объединения и пересечения.
6. Ассоциативность операций объединения и пересечения.
.
7. Дистрибутивность операции объединения относительно пересечения.
.
8. Дистрибутивность операции пересечения относительно объединения.
.
Если события и несовместны, то наряду со знаком << >> для их объединения употребляют знак <<+>>. Отметим, что все действия над событиями можно получить с помощью двух действий – объединения и дополнения или пересечения и дополнения.
Все действия над событиями в точности также как и случае выполнения операций над множествами можно получить с помощью двух действий – объединении и дополнения или пересечения и дополнения. Например, используя формулы де Моргана, можно получить соотношение
.
Рассмотрим доказательство этой формулы. Обозначим и . Рассмотрим некоторый элемент множества . Очевидно, что он принадлежит множеству, т.е. . Множество по определению задаётся условием: . Другими словами одновременно принадлежит множеству и не принадлежит множеству . Используя определение дополнения множества : , запишем .
С учётом сказанного зададим множество условием: . Если то он принадлежит : . С учётом сказанного запишем определение множества : . Мы провели доказательство по схеме слева направо. Аналогично можно провести доказательство по схеме справа налево.