Постановка задачи интерполирования

 

Пусть функция задана на отрезке в точках ,

i=0,1,2..n

 

где - узлы интерполяции.

 

Нам нужно провести интерполирующую функцию определенного класса, проходящую через точки: , т.е. в узлах интерполяции i=1,2..n. Пусть - это многочлен степени не выше n. В такой постановке задача имеет единственное решение. Полученную формулу

y=F(x)

используют для вычисления приближенного значения функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Эта операция называется интерполирование.

Интерполирование в узком смысле, если ,и экстраполирование (интерполирование в широком смысле). если

Интерполяционная формула Ньютона №1

Пусть точки будут равноотстоящими. Дано: отрезок , , .

Тогда: , , - шаг интерполяции.

Требуется: подобрать полином, степени не выше n , принимающий в точках значения или .

 

Идея Ньютона находить решение в виде полинома :

где .

Для практического использования удобно положить , тогда . …

Получим:

- первый многочлен Ньютона.

Полученную формулу выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения x₀, где q мало по абсолютной величине.

При n=1 получим формулу линейного интерполирования

 

Остаточный член первой интерполирующей формулы Ньютона имеет вид:+

,

где - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .

При наличии дополнительного узла на практике пользуются более удобной приближенной формулой:

.

 

Интерполяционная формула Ньютона №2

 

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть имеем систему значений функции для равноотстоящих значений аргумента , где . Построим интерполирующий полином следующего вида.

,где

. Подставляя эти значения в формулу и, полагая

получим:

.

- второй многочлен Ньютона.

Остаточный член второй интерполирующей формулы Ньютона имеет вид:

,

где - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .

Для неограниченной таблицы значений функции y число n в интерполяционной формуле может быть любым, поэтому практически его выбирают так, что бы разность была постоянной с заданной степенью точности.

Если таблица значений функции конечна, то число n не может быть больше числа значений функции у минус единица

Пример.

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью первого или второго интерполяционного многочлена Ньютона . Вычислить остаточный член.