Конечные разности последовательности yi определяются соотношениями

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

 

Пусть дана функция и фиксированная величина приращения аргумента . Конечной разностью первого порядка функции y называется выражение. Конечной разностью второго порядка называется: . Kонечной разностью n-го порядка называется . Конечные разности обладают следующими свойствами :

1. ;

2. ;

3. .

 

Для малых h можно приближенно заменять производные через конечные разности: , ().

Таблица разностей.

 

Часто приходится рассматривать функции у=f(x_,), заданные табличными значениями y_i=f(x_i,) для системы равноотстоящих точек x_i (i=0,1,2,…), где

конечные разности последовательности y_i определяются соотношениями

 

Пример. Построить конечные разности для функции с шагом .

 

Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной (таблица 3.1) или диагональной (таблица 3.2)

 

Горизонтальная таблица разностей Таблица 3.1.

….	…	…	…	…	…

 

Диагональная таблица конечных разностей:

 

Диагональная таблица конечных разностей Таблица 3.2.

 

Постановка задачи интерполирования

Пусть функция задана на отрезке в точках , i=0,1,2..n  

.

 

x	y
1.215	0.106044
1.220	0.106491
1.225	0.106935
1.230	0.107377
1.235	0.107818
1.240	0.108257
1.245	0.108696
1.250	0.109134
1.255	0.109571
1.260	0.110008

 

Требуется определить значения функции y(x) при следующих значениях аргумента

x₁ = 1.2173; x₂ = 1.253; x₃ = 1.210; x₄ = 1.270.

Составим таблицу конечных разностей.

 

i	xi	yi	Dyi	D2yi	D3yi
	1.215	0.106044	0.000447	-0.000003	0,000001
	1.220	0.106491	0.000444	-0.000002	0,000001
	1.225	0.106935	0.000442	-0.000001	-0,000001
	1.230	0.107377	0.000441	-0.000002	0,000002
	1.235	0.107818	0.000439		-0,000001
	1.240	0.108257	0.000439	-0.000001
	1.245	0.108696	0.000438	-0.000001	0,000001
	1.250	0.109134	0.000437
	1.255	0.109571	0.000437	-
	1.260	0.110008	-	-

 

При вычислении разностей ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При х = 1.2173 и х = 1.210 пользуемся формулой Ньютона для интерполирования вперед:

 

где q = (x-x₀)/h.

Если x = 1.2173, то q = (1.2173-1.215)/0.005= 0.46;

 

P1(1.2173)=0.106044+0.46·0.000447=0.106044+0.0002056=0.106250

 

Если x = 1.210, то q = (1.210-1.215)/0.005= -1;

 

P₁(1.210)= 0.106044+(-1)·0.000447=0.105597

P₂(1.210)= P₁(1.210)+ R₁=0.105600

 

При x = 1.253 и x = 1.270 пользуемся второй формулой Ньютона для интерполирования назад:

 

где q = (x-x_n)/h.

Если x = 1.253, то q = (1.253 - 1.250)/0.005 = 0.6;

 

P₁(1.253)=0.109134+0.6·0.000438=0.109134+0.000263=0.1093968

Если x = 1.270, то q = (1.270 - 1.260)/0.005 = 2;

 

P₁(1.270)=0.110008+2·0.000437=0.110008+0.000874=0.110882

Ответ: f (1.2173) » 0.106250; f (1.253) ·» 0.109397; f (1.210) » 0.105597;

f (1.270) » 0.110882.

 

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа

 

Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: , и известны для функции . Нам нужно построить многочлен .

Решим сначала частную задачу, построив полином такой, что .

Т.к. искомый полином обращается в нуль в n точках , то он имеет вид:

, (*)

где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле и учитывая, что , получим:

.

Отсюда .

Вернемся к выражению (*):

.

Тогда полином Лагранжа имеет следующий вид: .

Докажем единственность полинома Лагранжа.

Предположим противное. Пусть - полином, отличный от , степени не выше n и такой, что . Тогда полином , степень которого, очевидно, не выше n, обращается в нуль в n+1 точках , т.е. . Следовательно, .

При равноотстоящих многочлен Лагранжа совпадает с многочленом Ньютона такой же степени.

 

Вычисление лагранжевых коэффициентов:

 

- (1) Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (2)

где .

Формула Лагранжа при этом имеет вид .

Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности следующим образом:

Обозначим произведение элементов первой строки через D₀, второй – D₁ и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что

.Следовательно,

.

Пример выполнения в Маткаде

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.

 

Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a,b – постоянны ). Действительно, положив в формуле (1):

, , ,

после сокращения числителя и знаменателя на a, получим:

или

,

где , что и требовалось доказать.

В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.

В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда

и

.

Тогда ,

где . Отсюда можно записать:

(2)

где

. Пример выполнения в Маткаде

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы

 

 

Остаточный член формулы Лагранжа

Остаточный член равен: . Для него справедлива следующая оценка:

,

где на отрезке .

 

Схема Эйткина

 

Если требуется найти не общее выражение , а лишь его значения при конкретных x и при этом, значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, то удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткина. Согласно этой схеме последовательно вычисляются многочлены:

.

Интерполяционный многочлен степени «n», принимающий в точках x_i значения , запишется следующим образом:

.

Вычисления по схеме Эйткена удобно расположить в такой таблице:

 

 

Вычисления по схеме Эйткина обычно ведут до тех пор, пока последовательные многочленыи не совпадут в пределах заданной точности.

Пример Функция задана таблицей

 

1.0	1.000
1.1	1.032
1.3	1.091
1.5	1.145
1.6	1.170

 

Применяя схему Эйткена, найти

 

1.0	1.000	-0.15
1.1	1.032	-0.05	1.048
1.3	1.091	0.15	1.047	1.048
1.5	1.145	0.35	1.050
1.6	1.170	0.45	1.057

 

Значения и совпадают до третьего знака. На этом вычисления можно прекратить и с точностью до 0.001 записать =1.048