Качественное рассмотрение проблемы

Выше получена связь между различными параметрами звезд на основе эмпирических данных. Поставим теперь такой вопрос: каковы модели строения звезд различных типов? Следует сразу оговориться: ответить на этот вопрос с исчерпывающей полнотой можно лишь с помощью компьютерных расчетов (соответствующие результаты изложены в § 30). Однако некоторые зависимости, типа тех, что приведены в предыдущем параграфе, можно, по крайней мере, качественно объяснить, не прибегая к численным расчетам.

В процессе построения звездных моделей вводится ряд постулатов. В настоящем параграфе ограничимся обсуждением качественной стороны вопроса. Уравнения, их исследование и результаты компьютерных расчетов приведены в следующих параграфах.

1. Прежде всего предполагается, что звезда - газовый шар, находящийся в состоянии гидростатического равновесия.

2. Источниками энергии в звездах являются термоядерные реакции. Исследования показали, что наиболее важными оказываются три типа реакций.

а) При наиболее эффективны реакции протон-протонного цикла (pp-цикл).

б) - основной вклад в энерговыделение вносят реакции азотно-углеродного цикла (CN-цикла).

в) Если - включаются реакции третьего типа - так называемый тройной альфа-процесс (3a-процесс), при котором три ядра гелия, объединяясь, превращаются в углерод:

.

В массивных звездах после выгорания гелия могут реализовываться очень высокие температуры, до нескольких миллиардов градусов. В таких звездах ТЯР идут вплоть до образования железа. Процессы в массивных звездах будут рассмотрены ниже.

Темп энерговыделения характеризуется удельной мощностью e, выделяемой единицей объема звезды. Поскольку цепочки реакций первых двух типов являются двухчастичными (бинарными), то e имеет следующий функциональный вид:

, (4.6)

где r - плотность вещества звезды, e₁ - некоторая функция, зависящая, главным образом, от температуры, а также химического состава звезды (- средняя масса одной частицы вещества). Квадратичная зависимость e от плотности вытекает из того, что энерговыделение пропорционально плотности сталкивающихся частиц (так сказать, с двух сторон), в конечном итоге, r² (если реакции трехчастичные, как, например, 3a-процесс, то ).

Зависимости e₁, от T для различных процессов определяются как в результате теоретических расчетов (с привлечением методов квантовой механики и теории строения атомных ядер), так и экспериментально. Некоторые результаты таких исследований приведены на рис. 31. Отсюда видно, что e₁ можно аппроксимировать степенным законом

, (4.7)

где a » 4 для pp-цикла, a » 17 для CN-цикла и a » 40 для 3a-процесса.

3. Структура звезды в значительной степени зависит от процесса переноса энергии из центральных областей (где происходит ее выделение) наружу. Перенос энергии в нормальной звезде осуществляется двумя механизмами: конвекцией* и теплопроводностью. При этом молекулярная теплопроводность путем столкновения частиц обычно не эффективна. Более эффективной оказывается теплопроводность вследствие переноса излучения. В этом случае скорость теплопереноса существенно зависит от прозрачности вещества звезды. Ясно, что с увеличением непрозрачности вещества теплопроводность уменьшается.

Влияние непрозрачности на строение звезды можно пояснить следующим образом. Если вещество звезды непрозрачно, то излучение будет как бы заперто внутри нее. Среда перегреется, и звезда раздуется. Причем раздуется как раз настолько, сколько потребуется для того, чтобы темп энергопереноса сравнялся с темпом энерговыделения.

Непрозрачность вещества характеризуется соответствующим коэффициентом k. Он определяется следующим образом. Характерное расстояние, на котором поток фотонов ослабевает в e раз, есть длина свободного пробега фотонов l. С характеристиками среды она связана известным соотношением:

,

где n - концентрация поглощающих фотоны частиц вещества звезды (электронов. протонов, ионов и т. д.), s - эффективное сечение, описывающее процесс ослабления потока фотонов (поглощение и рассеяние). По определению

.

Тогда

.

Отсюда и определяется смысл величины k.

Исследования показывают, что k зависит от плотности, температуры и химического состава среды. На рис. 32 продемонстрирована зависимость непрозрачности определенного состава среды как функция температуры. Видно, что непрозрачность мала как при низких, так и при высоких температурах. Это связано с тем, что при высоких температурах фотоны, будучи высокоэнергичными, слабо взаимодействуют с рассеивающими частицами. При низких температурах существенная часть атомов не ионизирована, поэтому имеется мало электронов, способных рассеивать излучение. Сами же фотоны недостаточно энергичны, чтобы ионизовывать атомы.

При увеличении плотности кривая на рис. 32 несколько сдвигается по оси абсцисс. Таким образом, k тоже можно аппроксимировать степенной зависимостью

, (4.8)

где при высоких температурах b = 0 и h = 0 (k=k₀ » const, см. рис. 32), при более низких температурах b » 1 и h » 3.5. Наконец, при температурах, характерных для звездных атмосфер, b » 0.5 и h » 4.

В случае, когда непрозрачность вещества звезды велика, излучение не может осуществить требуемый темп переноса энергии, и в игру вступает конвекция.

Области, где превалирует перенос энергии вследствие конвекции (конвективные зоны), занимают, как оказывается, лишь часть звездного радиуса.

Наконец при очень высоких температурах () значительная доля анергии, выделяющейся в звезде, уносится нейтрино.

4. В свете сказанного выше ясно, что структура звезды определяется ее химическим составом.

5. Последним является вопрос об уравнении состояния вещества звезды. Если плотность звезды невелика или температура в звезде высокая, то газ является идеальным. Однако при больших плотностях, встречающихся в ядрах некоторых звезд, а также белых карликах, приближение идеального газа оказывается неприменимым. В этом случае вступают в игру квантовые эффекты, и вещество становится вырожденным. Остановимся вкратце на этом вопросе. Как мы уже видели на примере с атомом водорода (см. Приложение 1). согласно квантовой механике частицы могут двигаться лишь по вполне определенным траекториям. Разрешенных траекторий счетное количество, и есть траектория с наименьшей энергией. В этом заключается одно из главных отличий квантовой механики от классической. Далее, электроны подчиняются запрету Паули, согласно которому на одной траектории не могут находиться более двух электронов. Эти обстоятельства и определяют свойства вырожденного газа. В самом деле, до тех пор, пока плотность газа невелика, при увеличении концентрации частиц (скажем, при сжатии газа) функция распределения их по скоростям, оставаясь Максвелловской, изменяется так, как это качественно изображено на рис. 33. Однако, если плотность газа становится большой, так что все траектории с низкими энергиями оказываются заполненными, то при дальнейшем увеличении концентрации вследствие запрета Паули функция распределения в области малых скоростей больше не растет. Она перестает быть Максвелловской, деформируется, уплощаясь, т.к. рост числа частиц может теперь происходить лишь за счет заполнения траекторий с большими импульсами. Как показывают расчеты, ширина функции распределения перестает зависеть от температуры газа. От температуры зависит лишь ширина переходной области от n_e ¹ 0 к n_e = 0. Это, в свою очередь, означает, что давление вырожденного газа не зависит от температуры. Далее, поскольку в вырожденном газе повышена относительная доля частиц с высокими скоростями, то уравнение состояния такого газа будет более жестким, нежели идеального газа.

Вырожденный электронный газ (вырождение наступает прежде всего для электронного газа, т.к. электроны имеют наименьшую массу) подчиняется статистике Ферми. Уравнение состояния его (см. Ландау и Лифшиц, Статистическая физика, ч.1) имеет вид:

,

где P_B - давление вырожденного электронного газа.

Обратим внимание на то, что P_B действительно не зависит от температуры. Следовательно, в отличие от давления идеального газа, P_B не стремится к нулю при .

Чтобы перейти от объемной электронной концентрации n_e к массовой, нужно знать химический состав вещества. Поскольку звезды в основном состоят из водорода и гелия, будем считать, что эти элементы и являются основными поставщиками электронов. Тогда для полностью ионизованного газа

,

где n_H и n_He - объемные концентрации атомов водорода и гелия. Если ввести относительные доли (по массе) Х и Y, соответственно, водорода и гелия: , (здесь учтено, что масса атома гелия ), то

, (4.9)

где , - молекулярный вес в расчете на один электрон. Окончательно уравнение состояния вырожденного электронного газа можно записать в виде

(4.10)

.

Здесь приняты единицы СГС. Если звезда состоит полностью из водорода , то , если из гелия - .

Как ответить на вопрос: в каких случаях применимо уравнение состояния идеального газа, а в каких вырожденного? Очевидно, для этого нужно сравнить P_B и P_U - давление идеального газа. Если P_B > P_U , то газ будет вырожденным. Получим условие вырожденности газа. Очевидно, с учетом полной ионизации

,

где - средний молекулярный вес, выраженный в единицах массы атома водорода. Тогда условие вырождения примет вид

. (4.11)

Оценим r_th для недр Солнца. Приняв , , , получим. Реальная плотность в центре Солнца ~150 г×см^-3 - существенно меньше этой величины. Поэтому вещество в недрах Солнца не вырождено.*

При дальнейшем увеличении плотности, когда скорости электронов сравниваются со скоростями света, наступает следующее, релятивистское вырождение. Уравнение состояния в этом случае имеет вид (его можно найти в цитированном учебнике "Статистическая физика"):

. (4.12)

 

Задача №31. Из соображений размерности найти уравнение состояния вырожденного (в квантовом смысле) электронного газа. (Указание: определяющим параметром квантовой механики является постоянная Планка ћ ; учесть, что давление вырожденного электронного газа не зависит от температуры).

Задача №32. Из соображений размерности найти уравнение состояния вырожденного ультрарелятивистского газа. (Указание: определяющим параметром релятивистской теории является скорость света; давление в этом случае не зависит как от температуры, так и от массы частиц).