Средние скорости молекул

Пользуясь функцией распределения М., можно вычислить ряд важных в молекулярной физике величин: средней арифметической скорости <v>, средней квадратичной скорости v = √<v²> и наиболее вероятной скорости v_н.

1. Средняя арифметическая скорость<v> по определению равна отношению суммы скоростей всех молекул единицы объема к числу молекул единицы объема.

Число молекул в единице объема dn_v, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv равно nf(v)dv; Сумма скоростей всех таких молекул равна vnf(v)dv. Чтобы найти сумму скоростей всех молекул, обладающих любыми скоростя

∞

ми, нужно это выражение про

∞

интегрировать по всем возможным значениям скорости от 0 до ∞. Следовательно, сумма всех скоростей молекул ∫vn

∞

f(v)dv, а <v> = 1/n∫ vnf(v)dv , т.е.,

∞

<v> = ∫vf(v)dv , подставив f(v), получим:

 

<v> = 4/√π(m/2kT)^3/2∫ v³edv = 4/√π (m/2kT)^3/2∫ v²evdv

 

vdv = d(v²)/2, значит <v> = 4/√π (m/2kT)^3/2½∫ v²ed(v²)

Введем новую переменную Z=mv²/2kT : ½∫ v²ed(v²) = ½ (2kT/m)²∫Ze^-ZdZ, тогда, учитывая, что ∫Ze^-ZdZ =1, получим:

<v> = 4/√π (m/2kT)^3/22(kT/m)² = √8kT/πm

2) Средняя квадратичная скорость √<v²> – отношение суммы квадратов скоростей молекул единицы объема к числу молекул в этом объеме:

<v²> = ∫ v²f(v)dv = 4π(m/2πkT) ^3/2∫ v⁴edv

берется по частям ∫ v⁴edv = 3/8(2kT/m)^5/2√π

тогда <v²> = 3kT/m; = √<v²> = √3kT/m

3)Наиболее вероятная скорость молекулы, ей соответствует max на кривой распределения М., поэтому ее находят, приравнивая производную функции нулю:

(d/dv)f(v) = d/dv[4/√π (m/2kT)^3/2v²e ] = 0

т.е. d/dv(v²e ) = 0, после дифференцирования получаем:

2ve(1-mv²/2kT) = 0. Это уравнение имеет три решения: v = 0; v = ∞, либо выражение в скобках равно нулю. Следовательно, v_н находят из условия:

1- mv²/2kT = 0 =>v_н = √2kT/m

Сравнивая выражения для <v>,v и v_н, видно, что

v_{ср. кв.} = √3π/8<v> = 1,13<v> = √3/2 v_н = 1,22v_н

т.е. и средняя арифметическая, и средняя квадратичная скорости близки к v_н.