С использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

Изобразим расчетную схему (рис. 2)

 

Рис. 2. Расчетная схема

На рис. 2 обозначено:

Р₁,Р₂,Р₃ ,Р₄ – силы тяжести,

N₄ – нормальные реакции опорной плоскости,

F_уп – упругая реакция пружины,

 

Х₃, У₃ – реакции подшипника блока 3,

 

R=V – сила вязкого сопротивления,

 

F(t) – возмущающая сила.

 

 

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

 

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

, (1.1)

где Т - кинетическая энергия системы,

- сумма мощностей внешних сил,

- сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы".

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинети­ческих энергий тел 1-3:

Т=Т₁+Т₂+Т₃ +Т₄. (1.2)

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

Т₁= (1.3)

Каток 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига

T₂=+, (1.4)

где V₂ – скорость катка 2

J_O2 - момент инерции относительно центральной оси блока;

- угловая скорость блока.

Блок 3 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия

T₃=, (1.5)

где J₃ - момент инерции относительно центральной оси катка,

- угловая скорость катка.

Блок 4 совершает плоское движение.

T=,

где m₄ – масса блока 4,

V₄ – скорость блока 4

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

T=+++ (1.6)

Выразим V₃, V₄,, , J₂, J₃ через скорость груза 1.

Положив V₁=V=V₂, получим

J₃=m₃i₃², J₂=, ,V₄= , , (1.7)

 

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:

(1.8)

или

T=, (1.9)

где m_пр==3,68 кг (1.10)

 

Величину m_пр=const будем называть приведенной массой. Найдем производную от кинетической энергии по времени

(1.11)

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения

(1.12)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т. е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

 

(1.13)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы

Сумма мощностей остальных сил

(1.14)

или, раскрывая скалярные произведения,

(1.15)

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая , получаем условие равновесия системы

 

тогда, учитывая, что сила вязкого сопротивления

(1.16)

или

N^e=V F_{пр ,} (1.17)

где

(1.18)

 

Величину F_пр будем называть приведенной силой.

Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.18) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

 

(1.19)

Запишем последнее уравнение в виде:

, (1.20)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

- циклическая частота свободных колебаний,

k = 3,06 с^-1

- показатель степени затухания колебаний.

n = 0,14 с^-1

Запишем начальные условия движения:

t=0 | . (1.21)

Выражения (1.20) и (1.21) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.