II. Определение закона движения системы.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.20).

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.20) складывается из общего решения однородного уравнения S_OD и частного решения S_Ч неоднородного: S = S_OD + S_Ч. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.20), имеет вид:

(2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

S = Ae^Lt , (2.3)

где А и L - неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:

(L² + 2nL + k²) Ae^Lt = 0

Так как мы ищем нетривиальное решение, то. Следовательно, должно выполняться условие

L² + 2nL + k²= 0. (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Эти уравнение имеет два корня:

(2.5)

n < к, поэтому общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

(2.6)

где А₁,А₂ - постоянные интегрирования,

(2.7)

k₁= 3,06 c^-1

Решение (2.6), используя известные формулы Эйлера

нетрудно представить в виде:

S_OD₌(2.8)

где - постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения

(2.9)

Частное решение ищем в виде правой части

(2.10)

Подставляя (2.10) в (2.9), после несложных преобразований получаем:

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В: