Матрицы состояния энергосистемы

 

Если матрица имеет комплексные корни, то путем преобразования подобия ее невозможно привести к верхнетреугольной форме, однако можно привести ее к почти треугольной форме с ненулевыми поддиагональными элементами, т.е. к форме матрицы Хессенберга.

.

Для поддиагональных элементов данной матрицы выполняется следующее условие

,

т.е. произведение двух соседних поддиагональных элементов равно нулю, что позволяет привести матрицу к блочно-треугольной форме записи

,

где H_ii – блоки первого или второго порядков.

Например, для матрицы четного ранга (в данном случае четвертого) блочно-треугольная форма записи имеет вид

 

,

для матрицы нечетного ранга (в данном случае пятого)

.

Блоки первого порядка дают действительное собственное значение, блоки второго порядка дают пару комплексно сопряженных собственных значений, для определения которых решается уравнение вида

.

Например, приведенная ниже матрица Хессенберга, при приведении к блочно-треугольной форме записи

,

содержит на главной диагонали один блок первого порядка

и один блок второго порядка

,

что соответствует одному действительному и паре комплексно-сопряженных собственных значений.

Все три собственных значения определяются из условия

или же

,

следовательно, первое (действительное) собственное значение .

Для определения остальных собственных значений решается квадратное уравнение

,

откуда

.

Таким образом, собственные значения матрицы Хессенберга в данном примере ; ; .

 

4.10. QR-алгоритм приведения матрицы состояния энергосистемы к треугольной форме

 

Приведение матрицы к верхнетреугольной форме решает проблему определения собственных значений. Наиболее эффективным в данном случае является QR-алгоритм, где – ортогональная матрица, – верхнетреугольная матрица.

Матрица ортогональна если .

Пусть некая матрица путем преобразования подобия

,

где – матрица преобразования подобия, была приведена к форме с ненулевыми поддиагональными элементами

.

Для обнуления поддиагональных элементов матрица последовательно умножается на элементарные матрицы вращения, т.е. на единичные матрицы, на пересечении i-й строки и i-го столбца которых находится блок второго порядка, состоящий из тригонометрических функций

 

.

При умножении матрицы на первую матрицу вращения происходит обнуление соответственно первого поддиагонального элемента, если выполняется следующее равенство

,

из которого следует, что

.

Таким образом, последовательно умножая матрицу на элементарные матрицы вращения n-1 раз и каждый раз подбирая из вышеприведенного условия, можно за n-1 шагов обнулить все n-1 поддиагональных элементов, т.е.

, (4.12)

где – вехнетреугольная матрица.

Выражение (4.12) с учетом ортогональности матриц вращения и свойств ортогональных матриц можно переписать в виде

 

,

где – ортогональная матрица.