Метод Михайлова заключается в графической интерпретации критерия статической устойчивости. Корни характеристического уравнения могут находиться в различных сочетаниях на комплексной плоскости, возможные варианты отображены на рис. 3.11.
Рис. 3.11. Возможные варианты расположения корней уравнения
Если все корни лежат в левой полуплоскости, система устойчива, если хотя бы один действительный корень находится в правой полуплоскости, то это означает апериодическое нарушение статической устойчивости, наличие пары комплексно сопряженных корней с положительной вещественной частью означает колебательное нарушение статической устойчивости системы.
Характеристическое уравнение
может быть также записано в виде
где пределстатической ждени лемент в последнем столбце ( первой строки и озицию вдоль столбцаи, то наблюдается колебательное наруше – неизвестные корни;
– известные коэффициенты.
Вектор
является комплексным и может быть отображен на комплексной плоскости, при замене
,
где – вещественное число. Метод Михайлова позволяет судить об устойчивости системы по изменению угла вектора относительно оси абсцисс при изменении от нуля до бесконечности.
Пусть один действительный корень располагается в левой полуплоскости (рис. 3.12).
Отрицательный действительный корень дает вектору поворот на в направлении против часовой стрелки при изменении от 0 до .
Рис. 3.12. Изображение отрицательного действительного корня
на комплексной плоскости
Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью дает вектору поворот на в направлении против часовой стрелки при изменении от 0 до (рис. 3.13).
Рис. 3.13. Изображение пары комплексно-сопряженных корней
на комплексной плоскости
Если имеется корней в левой полуплоскости, то при изменении от 0 до вектор совершает поворот в направлении против часовой стрелки на , принимаемым за положительное.
Если имеется корней в правой полуплоскости, то при изменении от 0 до вектор совершает поворот по часовой стрелке (в отрицательном направлении) на .
Если имеется корней в левой полуплоскости и корней в правой полуплоскости, то при изменении от 0 до вектор совершает поворот на в положительном направлении.
Если в выражении
менять значение от 0 до , графически отображая при этом перемещения точки (т.е. строить годограф), то, зная полное число корней , можно сформулировать критерий устойчивости Михайлова
,
где – поворот вектора при изменении от 0 до ;
– число корней.
Если принимает значения
,
следовательно система неустойчива.
В случае если при изменении от 0 до полный поворот вектора в положительном направлении составляет s четвертей комплексной полуплоскости и s меньше числа корней n
,
из условия
можно определить число корней в левой и правой полуплоскостях :
.