Основные определения и вывод основных уравнений

Модальный анализустойчивости требует приведения модели энергосистемы к нормальному виду, т.е. все линеаризованные дифференциальные уравнения должны быть разрешены относительно производных по времени

где

– вектор переменных состояний системы порядка n;

R – квадратная матрица состояния системы, размером ;

Таким образом, для системы порядка n модель имеет вид

Система линейных уравнений малых колебаний для сложной энергосистемы

записанная в матричной форме

представляет собой модель, содержащую вторые производные переменных состояния по времени (в данном случае углов отклонения роторов от синхронной оси).

На примере одногенератороной системы можно рассмотреть приведение математической модели

к нормальному виду.

Поскольку первая производная угла отклонения по времени является угловой скоростью

следовательно,

откуда

Полученная модель приведена к форме, содержащей только первые производные по времени, за счет введения дополнительных переменных состояния и удвоения ранга матрицы состояния энергосистемы.

Решение системы для любой переменной состояния может быть записано в виде суммы составляющих движения

, (4.1)

где – корень системы,

– амплитуда движения, включающая два сомножителя.

, (4.2)

где – сомножитель, не зависящий от начальных условий и определяемый только параметрами системы;

– сомножитель, зависящий от начальных условий.

Таким образом, с учетом (4.1) и (4.2) переменная состояния определяется из выражения

Выражение для определения всей совокупности переменных состояния можно записать в виде системы уравнений

или в матричной форме

. (4.3)

Слагаемые правой части уравнения (4.3) называется модами движения, а входящие в них столбцы – модальными векторами.

Пусть число генерирующих узлов n = 2, переменные состояния – углы отклонения роторов генераторов от синхронной оси.

В данном примере для двухгенераторной электроэнергетической системы

Переменная состояния – суперпозиция колебаний различной частоты ротора генератора при нарушении установившегося режима работы энергосистемы (рис. 4.1).

Угол отклонения ротора первого генератора от синхронной оси определяется по формуле

где ,– амплитуды колебаний с частотами и для ротора первого генератора;

, – собственные частоты малых колебаний первого и второго генераторов (и );

, – их декременты затухания.

Рис. 4.1. Зависимость переменной состояния от времени

Для рассматриваемого примера состояние системы устойчиво, так как суперпозиция колебаний обеих частот имеет тенденцию к затуханию (рис. 4.1).

В общем случае выражение для столбца переменных состояния (4.3) может быть записано через квадратную модальную матрицу, столбцами которой являются модальные вектора

Поскольку производная от экспоненты

следовательно, для левой части уравнения модели, приведенной к нормальному виду

верно выражение

или же

. (4.4)

Для правой части, в свою очередь, верно выражение

. (4.5)

Таким образом, с учетом (4.4) и (4.5) для каждого -го корня выполняется следующее равенство

что при сокращении сомножителей дает уравнение

Таким образом, полученное матричное уравнение не зависит от начальных условий и определяется только параметрами системы.

Из матричной алгебры известно, что если для некого числа верно

где – квадратная матрица; – столбец; то – собственный вектор матрицы ; – собственное значение .

Собственные значения определяются из условия

Раскрытие характеристического определителя

дает характеристическое уравнение

решение которого позволяет найти все собственные значения.

Матрица размером имеет n собственных значений.

Собственные вектора определяются из уравнений

где – единичная матрица

в которое поочередно подставляются все собственные значения.

Каждое собственное значение соответствует определенному собственному вектору матрицы

Собственное значение может быть действительным корнем (апериодическое движение) или одним из пары комплексно сопряженных корней (колебательное движение с частотой и декрементом затухания ).

Собственный вектор определяет соотношение амплитуд колебаний роторов генераторов с частотой , т.е. форму или же моду j-го движения)

Модальная матрица определяет совокупность всех мод движения. На рис. 4.2 показан временной срез моды – форма колебательного движения с частотой для энергосистемы, состоящей из пяти генераторных узлов (рис. 4.3). Высота столбца гистограммы над номером некого генератора соответствует значению одного из элементов собственного вектора , а в физическом смысле – это амплитуда колебаний ротора данного генератора с указанной частотой .

Рис. 4.2. Форма (мода) j-го движения

Рис. 4.3. Схема энергосистемы

Модальная теория изучает совокупность динамических свойств энергосистемы, на основании определения собственных значений и собственных векторов матрицы состояний энергосистемы.

Для определения собственного вектора необходимо решить следующую систему

Однако, так как – это корень из уравнения , следовательно, система данная будет линейно зависима. Для решения этой проблемы необходимо произвольно задать один из компонентов собственного вектора (например, ), исключив тем самым одно из уравнений и решив систему порядка с неизвестным. В таком случае собственный вектор определяется с точностью до константы

Пусть математическая модель представлена системой уравнений второго порядка

которая при записи в матричной форме имеет вид

где элементами столбцов являются переменные состояния, квадратная матрица – матрица состояния.

Собственные значения матрицы состояния определяются из условия

которое для данного примера имеет вид

Решение характеристического уравнения, полученного при раскрытии определителя, позволяет найти собственные значения , являющиеся его корнями:

Для определения собственных векторов найденные собственные значения поочередно подставляются в систему уравнений

При подстановке первого собственного значения данная система приобретает вид

т.е. имеет место система линейно зависимых уравнений

В таком случае один из компонентов собственного вектора задается произвольно, например,

тогда

Следовательно, первый собственный вектор

При подстановке второго собственного значенияимеет место система также линейно зависимых уравнений

При аналогичном задании одного из компонентов () второй собственный вектор имеет вид

В таком случае решение для переменных состояния

Пусть переменные состояния – углы отклонения роторов от синхронной оси в энергосистеме с двумя генераторными узлами

Изменение во времени углов отклонения роторов генераторов от синхронной оси показаны на рис. 4.4. Наличие положительного действительного корня, как показано на рис. 4.4, ведет к неограниченному росту углов отклонения, т.е. к апериодическому нарушению статической устойчивости.

Рис. 4.4. Зависимости углов отклонения роторов генераторов

от синхронной оси