Основы матричных методов расчета электрических цепей
| Теория / ТОЭ / Лекция N 6. Основы матричных методов расчета электрических цепей. |
Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.
 Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.
Пусть имеем схему по рис. 1, где  - источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:
Однако, для дальнейших выкладок будет удобнеепредставить ток
Подставив (2) в (1), получим:
Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви). Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства
или
где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю. Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома. Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому
то
то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.
Метод контурных токов в матричной формеУравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для… В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов…Метод узловых потенциалов в матричной формегде - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за… МатрицыZ и Y взаимно обратны.Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ: .
Ответ:
|
.
как сумму токов k-й ветви и источника тока, т.е.:
.
.
,
,
,
| Теория / ТОЭ / Лекция N 7. Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока. |
Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует математическое определение:
Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:
Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за
Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока. Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания. Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью Принимая во внимание, что
Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому Резистор (идеальное активное сопротивление).Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , поэтому мощность всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощностьПолная мощностьАктивная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением: …Комплексная мощностьгде - комплекс, сопряженный с комплексом . .Баланс мощностейа) Постоянный ток Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение: …Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА.
Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом.
Ответ: R=10 Ом; XС=7,5 Ом. |
.
.
, получим:
.
.
.
, из (3) получим:
.
, т.е. на входе пассивного двухполюсника 
. Случай Р=0, 
теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.
? 
подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в которой 
. Определить активную, реактивную и полную мощности.
| Теория / ТОЭ / Лекция N 8. Резонансы в цепях синусоидального тока. |
Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.
Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами (резонанс напряжений)
 Для цепи на рис.1 имеет место
где
В зависимости от соотношения величин 1. В цепи преобладает индуктивность, т.е.
2. В цепи преобладает емкость, т.е. 3. Условие резонанса напряжений
При этом, как следует из (1) и (2), При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Пусть, например, в цепи на рис. 1 Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков. Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной. Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать
Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:
- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением
или с учетом (4) и (5) для
Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
где
В зависимости от соотношения величин
В цепи преобладает индуктивность, т.е. В цепи преобладает емкость, т.е.
Условие резонанса токов
При этом, как следует из (8) и (9), Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов. При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.
Поскольку в режиме резонанса мнимая часть
откуда, в частности, находится резонансная частота. Резонанс в сложной цепиПри определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления или входной… В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение…Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ:
Ответ: |
;
.
и 
возможны три различных случая.
, а следовательно,
. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.
, а значит, 
. Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.
- случай резонанса напряжений (рис. 2,в).
.
.
. Тогда 
, и, соответственно, 
.
, и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений LЭ и CЭ .
.
и 
для цепи на рис. 1 при U=const.
,
.
,
можно записать:
.
Для цепи рис. 4 имеем
,
;
.
и 
, как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.
, а следовательно, 
. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.
, а значит, 
. Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.
- случай резонанса токов (рис. 5,в).
или
.
. Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.
Например, для цепи на рис. 6 имеем
должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид
,
.
? 
.
| Теория / ТОЭ / Лекция N 9. Векторные и топографические диаграммы. |
Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы.
При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию № 8), ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях.
Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.
В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции № 5 (см. рис. 1).
 Параметры схемы:    
При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы  найденные значения токов (см. лекцию № 5) равны:  ;  ;  .
При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.
Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости).
При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.
В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС.
Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал точки а за нуль(  ), определим потенциалы этих точек:
или 
Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что  . Но разность потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны.
В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений.
Потенциальная диаграмма
Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме.
Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3.
При параметрах схемы Построим потенциальную диаграмму для контура abcda. Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура:
Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.
Преобразование линейных электрических схемРассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей.Преобразование последовательно соединенных элементовили . (2) При этом при вычислении эквивалентной ЭДС k-я ЭДС берется со знаком “+”, если ее направление совпадает с…Преобразование параллельно соединенных ветвейСогласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС , где .Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ:
Ответ:
Ответ: |
; 
; 
; 
; 
и 
токи в ветвях схемы равны: 
; 
; 
.
после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за нуль:
и параметры всех ее элементов, качественно построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму потенциалов для нее. 
. 
.
; 
; 
.
, 
и 
. 
; 
; 
| Теория / ТОЭ / Лекция N 10. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами. |
Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. Такие элементы могут связывать цепи, электрически (гальванически) разделенные друг от друга.
В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи
где М – взаимная индуктивность элементов цепи (размерность – Гн);
Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечником (см. рис. 1). На рис. 1 схематично показана картина магнитного поля при наличии тока i1 в первой катушке (направление силовых линий магнитного потока определяется по правилу правого буравчика). Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукцииФ11 , а витки второй катушки – с магнитным потоком взаимной индукцииФ21, который отличается от Ф11 (Ф21< Ф11) за счет потоков рассеяния. По определению
Если теперь наоборот пропустить ток i2 по второй катушке, то соответственно получим
При этом
Следует отметить, что коэффициент связи мог бы быть равным 1, если бы
Рассмотрим цепь переменного тока на рис. 2, в которую последовательно включены две катушки индуктивности
Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток
а во второй –
Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с ЭДС взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например точкой или звездочкой. Этот знак означает, что при увеличении, например, тока в первой катушке, протекающего от точки, во второй катушке индуцируется ЭДС взаимоиндукции, действующая от другого конца к точке. Различают согласноеи встречное включениякатушек. При согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по отношению к их одноименным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются – случай, показанный на рис. 2. При встречном включении катушек токи ориентированы относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции вычитаются. Таким образом, тип включения катушек (согласное или встречное) определяются совместно способом намотки катушек и направлении токов в них. Перейдя к комплексной форме записи (7) и (8), получим
где Для определения тока в цепи на рис. 2 запишем
откуда
Воздушный (линейный) трансформаторНа рис. 3 представлена схема замещения трансформатора, первичная обмотка которого включена на напряжение U1, а от вторичной обмотки получает … В трансформаторе энергия из первичной цепи передается во вторичную посредством магнитного поля. Если в первичной цепи…Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ: |
,
и 
-собственные индуктивности этих элементов.
Слеует отметить, что всегда к<1.
;
.
;
.
.
и 
, то есть когда весь поток, создаваемый одной катушкой, полностью пронизывал бы витки другой катушки. Практически даже различные витки одной и той же катушки пронизываются разными потоками. Поэтому с учетом рассеяния 
и 
. В этой связи
.
При изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы препятствовать изменению потока взаимной индукции.
, то в первой катушке индуцируется ЭДС
,
.
;
,
- сопротивление взаимоиндукции (Ом).
,
.
; 
; 
; 
; 
; 
. 