Пусть в цепи протекает ток (рис.24): i=Imsinwt, напряжение в цепи также синусоидально:
U=Umsin(wt+j) Поставим в соответствие синусоидальным функциям комплексные функции изображения: Umsin(wt+j) ¸ Um e(j(wt+j)) = Um e(jj) e(jwt) = Um e(jwt) i=Imsinwt¸Im e(jwt)= Im e(jwt) (Im=Im e(j0)=Im) (в данном случае комплексная амплитуда совпадает с амплитудой обычной) По 2-му закону Кирхгофа имеем: U=ur+uL+uc=ri+L(di/dt)+1/czidt (3)
Подставим комплексный функции – изображения напряжения и тока в (3): Ume(jj)=rIme(jwt)+L(d/dt)( Ime(jwt))+1/cz Ime(jwt)dt Все выполняемые нами операции линейны. Выполним операции дифференцирования и интегрирования.
Um e(jwt)=rIme(jwt)+jwLIme(jwt)+1/(jwc)Ime(jwt) После сокращения на e(jwt) приходим к алгебраическому выражению: Um =[r+jwL+1/(jwc)]Im=ZIm (4) В данном методе интегро – дифференциальное уравнение удалось свести к алгебраическому. Уравнение (4) выражает закон Ома в комплексной форме. Поделим правую и левую части (4) на Ö2, получим закон Ома для комплексных действующих значений : U=ZI Величина Z= r+j(wL+1/(wc))=r+j(xL-xc)=r+jx
Называется комплексным сопротивлением цепи. Функцию оригинал, т.е. синусоидальное напряжение находим с помощью представление (2): U(t)=Im[Ume(jwt)] Представим комплексное сопротивление Z=r+jx в показательной и тригонометрической формах:
Z=Ör2+x2 * e(jwt) , где j=arctg(x/r), т.о. модуль Z: çZê=Ör2+x2 = Z - полное сопротивление цепи.
Величина j равна фазовому сдвигу между напряжением и током.
Изобразим векторную диаграмму, соответствующую уравнению (4) (рис.25)
Um=rIm + jwLIm – jIm/(wc) При построении диаграммы будем иметь в виду, что умножение комплексного числа на j соответствует повороту вектора, соответствующего данному комплексному числу в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. А умножение на j соответствует повороту вектора в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке.
Проанализируем комплексное сопротивление Z представив его в тригонометрической форме
Z=Ör2+x2 e(jj)=Ze(jj) Z=z(cosj+jsinj) Изобразим комплексное сопротивление в виде вектора на комплексной плоскости. (рис.26) Из сопротивлений видно: r=zcosj x=zsinj
Пример: Рассмотрим последовательную r, L, c цепь.(рис.27) в которой: u=10sin(100t+p/4)
r=1 Ом L=0,02 Гн с=0,01 Ф i(t)-? uL(t)-?
1. Поставим в соответствие синусоидальному напряжению изображающую комплексную
функцию и найдем комплексную амплитуду. : u=10sin(100t+p/4) ¸ 10 e(j(100t+p/4))
Комплексная амплитуда напряжения будет равна: Um=10 e(jp/4)
2. Определим комплексное сопротивление цепи Z: Z=r+j(wL-1/(wc))=1+j=Ö2e(jp/4)
3. Используя закон Ома в комплексной форме найдем комплексную амплитуду тока:
Im=Um/Z=10e(jp/4)/(Ö2 e(jp/4))=5Ö2
5. Определим синусоидальную функцию оригинала: i(t)=Im[Im e(jwt) ]=Im[10/Ö2 e(j100t) ] = Im[10/Ö2cos100t+j10/Ö2sin100t]=10/Ö2sin100t
6. Определим комплексную амплитуду напряжения на индуктивности: (uL)m=jwLim=j*2*10/Ö2=10Ö2j=10Ö2 e(jp/2)
7. Определим синусоидальную функцию напряжения на индуктивности: uL(t)=Im[(uL)m e(jwt)]=Im[10Ö2 e(100j+p/2)]=10Ö2sin(100t+p/2)