Законы Кирхгофа в комплексной форме.

По 1-му закону Кирхгофа имеем:åik=0 (3) В выражении (3) ik=(Im)ksin(wt+jk) (4)

Поставим в соответствие синусоидальной функции (4) комплексную функцию: ik=(Im)ksin(wt+jk)¸(Im)k e(jwt) ((Im )k=(Im)k e(jjk)) (5)

Подставим функцию (5) в исходное уравнение (3): å(Im)k e(jwt)=0 отсюда å(Im)k=0 (6)

Уравнение (6) выражает 1-ый закон Кирхгофа в комплексной форме. Для комплексных действующих значений токов: å(I)k=0

2-ой закон Кирхгофа в комплексной форме: Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из n ветвей, тогда по 2-му закону Кирхгофа имеем: åek=å(ur)k+å(uL)k+å(uc)k

Выразим напряжение через соответствующие токи: åek=…=årkik+åLk(dik/dt)+å1/ckzikdt (7)

Поставим в соответствие синусоидальным функциям изображающие комплексные функции:

Ik=(Im)ksin(wt+jk)¸(Im)k e(jwt) ((Im)k=(Im)k e(jjk))

ek=(Em)ksin(wt+yk)¸(Em)k e(jwt) ((Em)k=(Em)k e(jyk))

Подставим в уравнение (7) изображающие комплексные функции Ik и Ek:

å(Em)k e(jwt)=årk(Im)k e(jwt) + åjwLk(Im)k e(jwt) +å1/(jwck)(Im)k e(jwt)

После преобразований и группировки получим (:e(jwt)) и группировки получим:

å(Em)k=å[rk+j(wLk-1/wck)](Im)k т.о. приходим к следующему выражению:

å(Em)k=åZk(Im)k Для комплексных действующих значений получим: åEk=åZkIk