МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Во многих случаях анализа сложных ЭЦ возникает необходимость преобразование цепи с целью ее упрощения, т.е. уменьшения количества элементов цепи. Преобразование считается эквивалентным, если оно не изменяет токи и напряжения в непреобразованной части цепи. При этом изменение топологии ЭЦ не меняет её свойств. Отметим, что не только виды элементов, но и топология их сочетания определяют свойства ЭЦ.

3.1. Любой источник тока (рис. 1.2 б) может быть заменен эквивалентным источником напряжения (рис. 1.2а) и наоборот. При этом источник тока, эквивалентный источнику напряжения, должен генерировать ток, равный току короткого замыкания источника напряжения, и иметь параллельное внутреннее сопротивление, равное последовательному внутреннему сопротивлению источника напряжения, т.е. схемы эквивалентны, если

или .

 

Например, после замены источника тока источником напряжения (рис. 1.3) в обобщенной ветви последняя будет выглядеть так:

 

	=
Рис.3.1		Рис.3.2

 

где . Обратите внимание, направление эквивалентного источника ЭДС совпадает с напряжением источника тока . Ниже будет показано, что данный участок цепи можно упростить, как показано на рис. (3.2), где .

 

3.2. Последовательное соединение резисторов при эквивалентной замене суммируется:

 

,

 

где – число последовательно соединенных резисторов. При данном соединении всегда больше большего из сопротивлений. В частном случае, если каждое из сопротивлений равно , то .

 

Пример. Определить эквивалентное сопротивление цепи на зажимах .

a)

.

	=
Рис 3.4		Рис 3.5

 

 

б)

	.
Рис 3.6

 

Здесь , т.к. разрыв цепи между точками и имеет бесконечно большое сопротивление.

 

3.3. При параллельном соединении резистора суммируется их проводимость , где - число параллельно соединенных резисторов, и . При параллельном соединении всегда меньше меньшего из сопротивлений. В частном случае, если каждое из сопротивлений равно , то . В случае двух параллельно соединенных сопротивлений и :

	=
Рис 3.7		Рис 3.8
,
	или	.

 

Пример. Определить на зажимах .

а)

	=
Рис 3.9		Рис 3.10

а)

.

б)

	.
Рис 3.10

 

Здесь , т.к. сопротивление закоротки равно нулю.

 

РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Тип элемента	Последовательное соединение m-элементов	Параллельное соединение m-элементов
Резисторы
Конденсаторы
Катушки индуктивности

 

3.4. При смешанном соединении резисторов эквивалентное сопротивление цепи определяет последовательным упрощением схемы и «сворачиванием» ее к одному сопротивлению, равному . При расчете токов в отдельных ветвях ЭЦ «разворачивают» в обратной последовательности.

Пример. Определить относительно зажимов .

а)

	=		=
Рис 3.11		Рис 3.12		Рис 3.12

 

,

а)

.

б)

	=		=
Рис 3.13		Рис 3.14		Рис 3.15

 

б)

, .

 

	=
Рис 3.16		Рис 3.17
	=
Рис 3.18		Рис 3.19

 

в)

, где .

 

В последнем примере сопротивление закорочено, а сопротивления , , имеют только одну общую точку со схемой и поэтому они не учитываются. Сопротивления и включены последовательно и эквивалентное им сопротивление , а и включены параллельно, поэтому:

.

3.5. Преобразование пассивного треугольника сопротивлений в эквивалентную трехлучевую звезду. Схемы будут эквивалентны, если сопротивления между узлами и , и , и в обеих схемах «звезды» и «треугольника» будут одинаковыми:

	=
Рис. 3.20		Рис. 3.21

 

, , .

 

Решая совместно эти уравнения, получим:

 

, , ,

 

, , .

 

Обратное преобразование трехлучевой звезды в треугольник:

 

, , .

 

Пример. Определить эквивалентное сопротивление ЭЦ относительно зажимов .

 

	=
Рис 3.22		Рис 3.23
	=
Рис 3.24		Рис 3.25

 

Сначала преобразуем треугольник сопротивлений , , в эквивалентную трехлучевую звезду , , ; затем преобразуем последовательно соединенные резисторы , и , , эквивалентные сопротивления которых соединены между собой параллельно и могут быть заменены одним :

 

.

 

Резистор включен параллельно резисторам и , соединенным между собой последовательно. Поэтому эквивалентное сопротивление всей ЭЦ относительно зажимов :

 

.

 

3.6. Преобразование ветвей, содержащих последовательные и параллельные соединения источников ЭДС и тока.

а)

	=
Рис 3.26		Рис 3.27

б)

	=
Рис 3.28		Рис 3.29

 

в)

	=		или
Рис 3.30		Рис 3.31		Рис 3.32

 

а)

г)

Если . Два источника тока могут быть соединены последовательно, если они равны и одинаково направлены в противном случае не будет выполняться ЗТК в месте соединения двух источников.

 

д)

. Два источника ЭДС могут быть включены параллельно, если они равны и имеют одинаково включенную полярность. Если эти условия не выполняются, то ЗНК будет нарушен в контуре, содержащем эти источники.

 

 

д)

3.7. Часть схемы, состоящей из параллельных ветвей ЭДС и проводимостями , эквивалентно либо одной ветви с проводимостью и ЭДС :

 

, ,

 

либо двум параллельным ветвям с той же проводимостью и источником тока :

 

.

 

ПРАВИЛО ЗНАКОВ. Слагаемые ,берутся с плюсом при совпадении направления ЭДС и , при несовпадении – с минусом.

 

Пример. Преобразовать схему с параллельными ветвями, содержащими источники ЭДС, в эквивалентную.

	=		=
Рис 3.33		Рис 3.34		Рис 3.35

 

 

, , .

 

Пример.В заданной ЭЦ (рис.2.1) найти токи, используя эквивалентные преобразования.

Для начала преобразуем источник тока в источник напряжения: .

Заменим сопротивления и на эквивалентные и , на .

Элементы , , соединены в трехлучевую звезду, которую можно преобразовать в треугольник с сопротивлениями: , , .

 

, , .

 

После преобразований схема приобретает вид:

 

	Þ

 

Последовательно упрощаем схему,

 

где

 

, , ,

 

, .

 

 

Схему можно заменить на , где

 

 

, .

 

Заменяя и на эквивалентное :

 

.

 

Тогда ток, протекающий через элементы , будет равен:

 

.

 

Токи, протекающие через , равны: ():

 

, .

 

Посредством найдем токи на резисторах и (и ):

 

 

1. ,

 

 

1. .

 

Остальные токи можно найти посредством ЗТК для изначальной схемы:

 

, , .