Однофазные электрические цепи переменного тока

 

§ 4.1. Переменный ток, получение, параметры.

 

Переменным называется периодический ток, значения которого повторяются через определенные промежутки времени, называемые периодом. Период (Т, секунды) одного полного колебания.

 

Рис.4-1. Модель генератора переменного тока.

 

Рис.4-2. График синусоидального тока.

 

Источником силовых линий магнитного поля является постоянный магнит NS, между полюсами которого расположен цилиндрический ротор (вращающаяся часть). Ротор, с целью уменьшения потерь на вихревые токи набран из отдельных тонких листов электротехнической стали, изолированных лаковой пленкой друг от друга. Полюсам придается такая форма, что в воздушном зазоре между ними и ротором магнитная индукция изменяется по закону синуса

,

где a - угол между плоскостью катушки, расположенной на роторе, и нейтральной плоскостью ОО^’. При вращении ротора с угловой скоростью ω в каждой активной стороне витка катушки (число витков W), согласно явлению электромагнитной индукции, наводится ЭДС. Тогда, ЭДС индуктируемая на концах этой катушки, будет равна

, (1)

e_i – ЭДС, индуктируемая в одной активной стороне витка катушки; 2 – число активных сторон в одном витке; W – число витков; ωt=a. Здесь .

Из выражения (1) вытекает, что при создании такой модели генератора ЭДС, возникающая в обмотке, закрепленной на роторе, изменяется по закону синуса. Для подключения к такому генератору нагрузки надо:

1. концы обмотки подключаются к контактным кольцам;

2. к контактным кольцам приложить щетки, с помощью которых снимаем ЭДС, и подключаем нагрузку.

Параметры переменного тока.

1.Период.

2.Циклическая частота – число полных колебаний в секунду.

.

Единицей измерения служит Гц=1/с.

3.Мгновенной значение тока i, напряжения u, ЭДС e – значение этих величин в произвольный момент времени, например, времени t, мгновенное значение тока i (см. график).

4.Амплитудное или максимальное значение тока I_max, напряжения U_max, ЭДС E_max - наибольшее из мгновенных.

5.Действующее значение – это величина тока, которая определяется в цепях переменного тока с помощью измерительных приборов.

.

Здесь U, E и I – действующие значения.

6.Среднее значение величины за период. Т.к., в течении одной половины периода ток течет в одном направлении, а в течении другой то же количество электричества протекает в обратном направлении, то среднее значение тока за период равно 0.

 

 

§ 4.2. Фаза переменного тока. Сдвиг фаз.

 

Пусть на якоре генератора укреплены два одинаковых витка 1 и 2, сдвинутых в просранстве на угол φ, как показано на рис.4-3. При вращении якоря в витках будет наводиться ЭДС индукции одинаковой частоты ω и амплитуды E_max рис.4-4, т.к, витки вращаются с одинаковой угловой скоростью в одном и том же магнитном поле.

 

Рис.4-3.

 

Рис.4-4.

Положение витков задано углами ψ₁ и ψ₂ для произвольного момента времени, которое можно положить t=0. Плоскости витков не совпадают с нейтральной плоскостью ОО^’. Мгновенные значения ЭДС как функции времени будут определяться выражениями:

; .

Следовательно, в момент времени t=0 ЭДС отличны от нуля:

; .

Электрически углы ψ₁ и ψ₂ определяют значения ЭДС в начальный момент времени и называются начальными фазовыми углами или начальными фазами.

Временной сдвиг определяется разностью начальных фаз и называется углом сдвига фаз или сдвигом фаз φ. (рис.4-4).

 

 

§ 4.3. Векторные диаграммы.

 

Сложить, вычесть токи, напряжения двух синусоидальных величин, имеющих разные начальные фазы, является трудоемкой операцией. Поэтому, возникла необходимость заменить синусоидальные величины вектором, длина которого равна действующему значению данной величины, а его положение по отношению к нейтральной плоскости будет определяться начальным углом. Такая замена называется векторной диаграммой. Совокупность нескольких векторов, соответствующих нулевому моменту времени, называется векторной диаграммой.

 

 

§ 4.4. Особенности электрических цепей переменного тока.

 

При изучении электрических цепей необходимо помнить, что электрический ток неразрывно связан с магнитным полем. Таким образом, при возникновении тока в электрической цепи и в окружающей среде имеются магнитные и электрические поля. Кроме того, в электрической цепи происходит преобразование электромагнитной энергии в тепловую.

В реальных цепях электрическое и магнитное поля распределены вдоль всей оси. Но такое равномерное распределение полей встречается редко, например, в линиях передачи энергии. Как правило, магнитное и электрическое поля распределяются вдоль цепи неравномерно, причем, на одних участках резко выражены магнитные поля (индуктивные катушки), на других – электрические (конденсаторы). Имеются также участки цепей, где происходит в основном преобразование электромагнитной энергии в тепловую (резисторы). Указанные цепи, называемые цепями с сосредоточенными параметрами, позволяют изучить свойства отдельных участков, а затем рассмотреть работу цепи в целом.

 

§ 4.5. Цепь переменного тока с активным сопротивлением.

 

Рис.4-5.

 

u-мгновенное напряжение.

Ток в цеп определяем по закону Ома:

,

где U – действующее; R – активное сопротивление. Пример – лампа накаливания.

Такая цепь потребляет мощность, называемою активной

[Вт],

I – действующее значение тока.

Под активной мощностью можно приблизительно считать ту полезную мощность, которая участвует в преобразовании электрической энергии в другие виды энергии.

Векторная диаграмма.

Рис.4-6.

 

При составлении диаграммы следует помнить, что вектора вращаются против часовой стрелки с угловой скоростью ω или же говорят с угловой частотой ω, равной

.

Здесь, U_R – напряжение на активном сопротивлении, равное

.

Как видно из векторной диаграммы в активном сопротивлении вектор тока и вектор напряжения совпадают по направлению.

 

 

§ 4.6. Цепь переменного тока с емкостью.

 

Рис.4-7.

 

Ток в цепи

,

где X_C – емкостное сопротивление цепи, равное

,

здесь с – емкость в Фарадах, и т.к. эта величина очень большая, а сети имеют значения емкости в мкФ, то чаще пользуются формулой

,

здесь с в мкФ.

В такой цепи, независимо от направления тока, на участках 0 – 1, 2 – 3 (см. график переменного тока) идет потребление электрической энергии, конденсатор накапливает ее на пластинах и она присутствует в этой цепи в виде энергии электрического поля. В эти промежутки времени цепь работает как потребитель и значения мощности берут со знаком «+».

Когда напряжение на входе в цепи характеризуется участком 1 – 2, 3 – 4, то запасенная электрическая энергия в цепи с емкостью возвращается в сеть, цепь ведет себя как генератор, а значение мощности берут со знаком «-». Поэтому, активная мощность, потребляемая такой цепью, равна 0.Наибольшее значение мощности, потребляемой цепь, называется реактивной мощностью и определяется

[вар] – вольт ампер реактивная.

Векторная диаграмма.

Рис.4-8.

 

Здесь U_С – напряжение на емкостном сопротивлении

.

Как видно из векторной диаграммы вектор тока опережает вектор напряжения на угол φ=90°. При этом, говорят так, φ=90° - опережающий, т.е. вектор тока опережает вектор напряжения на угол 90°.

 

 

§ 4.7. Цепь переменного тока с индуктивностью.

 

Рис.4-9.

 

Ток в цепи

,

где X_L – индуктивное сопротивление цепи, равное

,

где L – индуктивность (Гн) – параметр, характеризующий свойства обмоток катушек электрических аппаратов и машин.

В такой цепи, также в соответствии с формой напряжения приложенной к цепи и в различное время (участки 0 – 1, 1 – 2), идет вначале потребление электрической энергии, которая накапливается в виде энергии магнитного поля, после чего она возвращается в сеть. Поэтому, Р=0. При этом, наибольшее значение мощности называется реактивной мощностью индуктивности.

.

Векторная диаграмма.

 

Рис.4-10.

 

Здесь, напряжение на индуктивном сопротивлении равно

.

Как видно из векторной диаграммы вектор тока отстает от вектора напряжения на угол φ=90°. Теперь, под записью φ=90° - отстающий – надо понимать то, что вектор тока отстает от вектора напряжения на угол φ=90°.

 

 

§ 4.8. Неразветвленная цепь переменного тока с R, X_L, X_C.

 

Рис.4-11.

 

Ток в цепи

,

где Z – полное сопротивление цепи, равное

.

Связь между этими сопротивлениями можно графически изобразить в виде прямоугольного треугольника сопротивления.

Рис.4-12.

 

Здесь X – реактивное сопротивление цепи. , .

В такой цепи присутствует:

активная мощность

.

реактивная мощность

.

полная мощность

[ВА] – вольт ампер.

 

Треугольник мощностей (прямоугольный).

 

Рис.4-13.

 

Из треугольника мощностей следует, что коэффициент мощности – число, показывающее отношение активной мощности к полной мощности. Цепь потребляет мощность, которая называется полной. И только часть этой мощности идет на выполнение активной и полезной работы. Поэтому, cosφ (коэффициент мощности) называют КПД электрической цепи. .

Векторная диаграмма. Порядок построения.

1. Находим напряжение на элементах цепи

.

2. Выбираем масштаб по току и по напряжению.

М_I=

М_U=

При выборе масштаба следует учитывать:

§ длина вектора тока должна быть чуть больше или равна длине вектора общего напряжения;

§ масштаб по напряжению должен быть таким, чтобы длины векторов напряжения на элементах цепи получились целыми числами или дробными 5 (с дробью 0,5, например 2,5).

3. По горизонтали откладываем вектор тока. Длина вектора тока равняется числовому значению тока деленного на масштаб.

4. С учетом углов сдвига фаз в активном, индуктивном и емкостном сопротивлениях откладываем вектора напряжений на элементах цепи. Чтобы правильно отложить вектора напряжений делают так:

§ обходят цепь по часовой стрелке, но можно и по-другому;

§ для получения вектора напряжения на зажимах цепи надо все вектора сложить поочередно друг к другу, т.е. начало второго должно идти с конца первого, а начало первого будет совпадать с началом вектора тока. Для нашей цепи вектор напряжения на зажимах цепи равен

;

§ не забывать, что вектора вращаются против часовой стрелки.

Рис.4-14.

 

Угол φ отмечается стрелкой, направление стрелки от вектора тока к вектору напряжения. Диаграмма построена для случая X_L>X_C/

Для случая X_L<X_C диаграмма будет иметь следующий вид

 

Рис.4-15.

 

Для случая X_L=X_C

Рис.4-16.

 

Такая векторная диаграмма показывает, что в цепи наступает резонанс напряжений. при резонансе напряжения такая цепь ведет себя как цепь с чисто активной нагрузкой, т.е. Z=R, cosφ=1, т.к. φ=0, то Q=0, P=S, а напряжение на зажимах цепи равно напряжению на активном сопротивлении. Добиться резонанса напряжения можно подбором индуктивности, емкости, реактивных сопротивлений или питать такую цепь резонансной частотой

.

 

 

§ 4.9. Разветвленная цепь переменного тока.

 

Цепь рис.4-17 состоит из параллельно соединенных катушки и конденсатора, находящихся под общим напряжением U.

 

 

Рис.4-17. Схема разветвленной цепи.

 

Ток в катушке

.

Этот ток отстает по фазе от напряжения на угол φ₁, тангенс которого

.

Ток катушки можно разложить на две слагающие, активную , совпадающую по фазе с напряжением, и реактивную , отстающую по фазе от напряжения на угол π/2.

Ток конденсатора

.

Он опережает по фазе напряжение на угол π/2.

Общий ток найдем из прямоугольного треугольника токов (рис.4-18), одним катетом которого является активная слагающая тока , а другим реактивная слагающая общего тока, равная разности реактивной слагающей тока катушки и тока конденсатора .

Таким образом, общий ток

.

Угол сдвига общего тока от напряжения определяется через его тангенс (рис.4-18):

.

 

Рис.4-18. Векторная диаграмма для разветвленной цепи.

 

Рис.4-19. Векторная диаграмма при резонансе токов.

 

Ток в неразветвленной части цепи может отставать от напряжения на угол φ при I_L>I_C, или опережать его при I_L<I_C, или, наконец, совпадать по фазе с напряжением (рис.2) при I_C=I_L. В последнем случае в цепи наступает резонанс токов, при котором , а мощность , т.к. φ=0, а cosφ=1.

Таким образом, общий ток равен активной составляющей тока катушки. При этом общий ток всегда меньше тока в катушке, т.к. активная составляющая тока катушки всегда меньше тока катушки (I_a1<I₁).

Отношение тока в контуре или в катушке (I₁≈I₂) к общему току при резонансе (I_рез)

,

представляющее собой добротность контура, показывает, во сколько раз ток в параллельном контуре при резонансе больше общего тока в подводящих проводах.

В этом случае максимальная мощность, затрачиваемая на получение магнитного поля (U/I_L), равна максимальной мощности, затрачиваемой на получение электрического поля (UI_C), а следовательно, равны и максимальные значения энергии в магнитном и электрическом полях цепи W_Lм=W_Cм. Как и в рассмотренном выше колебательном контуре, в течении одной четверти периода энергия, запасаемая в электрическом поле, целиком получается от магнитного поля, а в течении второй четверти периода энергия, запасаемая в магнитном поле, целиком получается от электрического поля. От генератора в цепь поступает только энергия, расходуемая в активном сопротивлении. Т.к. реактивные слагающие тока компенсируют друг друга, то в цепи генератора проходит только активный ток, обусловленный потерями энергии в активном сопротивлении.

 

§ 4.10. Коэффициент мощности.

 

Для полного использования генератора он должен работать при номинальном напряжении U_н с номинальным током I_н и cosφ=1. В этом случае генератор развивает наибольшую активную мощность, равную его полной номинальной мощности,

.

Уменьшение cosφ вызывает пропорциональное уменьшение активной мощности, т.е. неполное использование номинальной мощности генератора.

У приемника энергии, работающего при неизменном номинальном напряжении U_н и с постоянной активной мощностью Р, ток изменяется обратно пропорционально cosφ, т.к.

.

Следовательно, уменьшение cosφ вызывает увеличение тока и увеличение мощности потерь на нагревание проводов I²r.

По указанным соображениям стремятся повышать cosφ каждой установки до значения, близкого к единице.

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется переменным электрическим током?

2. Как можно изобразить переменный электрический ток?

3. Период, частота, амплитуда переменного тока.

4. Мгновенные и действующие значения тока, напряжения и ЭДС.

5. Фаза переменного тока. Сдвиг фаз.

6. Векторные диаграммы цепи переменного тока.

7. Что представляют собой особенности электрических цепей переменного тока?

8. Как рассчитать цепь переменного тока с активным сопротивлением?

9. Как рассчитать цепь переменного тока с емкостью?

10. Как рассчитать цепь переменного тока с индуктивностью?

11. Что представляет собой неразветвленная цепь переменного тока с активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью?

12. Как построить векторную диаграмму неразветвленной цепи переменного тока?

13. Что представляет собой разветвленная цепь переменного тока?

14. Коэффициент мощности.

 

 

ГЛАВА 5