Решение задачи (рис.1.7) сводится к следующему:
· систему уравнения в интегральной или дифференциальной форме можно составить по законам Кирхгофа;
· методом замены переменных можно получить одно дифференциальное уравнение первого порядка и решить его.
R1 R3
E1 R2 C
Рис. 1.7. Исследование переходных процессов электрической схемы с
RС-элементами
Система уравнений для электрической цепи составляется по уравнениям Кихгофа (см. рис.1.7):
Заменяя переменные, получим следующие уравнения:
Во второй ветви ток проходит через конденсатор, значит зависимость между током и напряжением дифференциальная:
.
Получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
.
Здесь: ; τ = СּRэкв .
Решение дифференциального уравнения найдем, как общее (правая часть равняется нулю), так и частное, зная функцию правой чести. Разделение на две составляющие напряжения на конденсаторе – это исходит только из математического решения дифференциального уравнения:
.
Здесь uC,пр - принужденное напряжение на конденсаторе; uC,св - свободное напряжение на конденсаторе.
Пример.Найти численное решение электрической схемы (см. рис.1.7)
Дано:E = 60 B; R = 10 Ом (все); С = 20 мкФ.
Определить: i =? u =? τ =?
Численное значение переходного процесса напряжения на конденсаторе будет:
,
где или .
Графики переходных процессов i1(t), i2(t), i3(t), uС(t), изображены на осциллограмме (рис.1.8).
Рис. 1.8. Графики переходного процесса напряжения на конденсаторе и токов в ветвях электрической цепи (см. рис.1.7)
Уравнения переходных процессов токов в ветвях будут:
Расчет постоянной времени.Постоянную времени можно определять, используя новую переменную (jω = p) которая такая же, как сопротивления в цепи синусоидального тока:
ZL = jωL = pL; ZR = R.
При определении постоянной времени источники в электрической цепи должны быть равны нулю, при этом сохраняется их внутренние сопротивления и конфигурацию цепи. Эта схема эквивалентна той, что из электрической цепи удалены источники напряжения и тока, а цепь замыкаю в том месте, где удалили источник напряжения, так как внутреннее сопротивление этого источника равно нулю. Если удаляют источник тока, тогда в этом месте цепь разрывают, так как внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности. Ключ устанавливают в положение после коммутации. Затем определяют переменную p, а далее постоянную времени .