Свойства прямого преобразования Лапласа

Рассматривая основные свойства прямого преобразования Лапласа можно увидеть, что в изображениях интегрально-дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими функциями умножения и деления. Это упрощает решение задач в изображениях.

Свойства преобразования Лапласа:

1. Изменение масштаба. Если функция f(t) = A= Const является постоянной величиной, тогда изображение определяется по формуле
A . Доказательство. .

2. Дифференцирование оригинала. Если функция f(t) непрерывно дифференцируемая в пределах (0, +∞) и имеет изображение f(t) .=^· F(p), а производная функции f ^’(t) тоже оригинал и имеет изображение:

f ^’(t) pF(p) – f(0₊),

где .

3. Изображение второй производной (без вывода):

.

Обобщение. Изображение производной n-ого порядка при нулевых начальных условиях равно:

.

4. Интегрирование оригинала. Если функции имеет пределы
(0, +∞), а оригинал соответствует изображению f(t) F(p), тогда интегрирование оригинала приведет к изображению в виде:

.

Доказательство. Для интегрирования оригинала вводятся новые переменные:

, .

По аналогии выполняется интегрирование оригинала по частям:

.

5. Оригинал является показательной функцией f(t)=e^at. Изображение показательной функции имеет вид:

. По аналогии получается: .

Доказательство. .

Различные некоторые функции оригиналов и их изображения (табл.1.1) получены при прямом преобразовании Лапласа. Эти таблицы можно использовать как при прямом, так и обратном преобразовании Лапласа.

Переход от изображения к оригиналу может выполняться в зависимости от сложности вида изображения следующими способами:

· по таблицам соответствия изображения оригиналу для простых случаев;

· по теореме разложения для сложных изображений;

· непосредственным применением теоремы вычетов;

· используя обратное преобразование Лапласа.

Для перехода от изображения к оригиналам обычно используются переход по таблицам для простых случаев и переход по теореме разложения для сложных изображений в виде полиномов в числителе и знаменателе.

Таблица 2.1.Оригиналы и изображения по Лапласу

№ п.п.	f(t)	F(p)		№ п.п.	f(t)	F(p)
		1/p		1-e-pt	A/p(p+a)
	A	1/p		(1-at)e-at	p/(p+a)2
	t	1/p2
	e–at	1/(p+a)		cos ωt
	e-jωt	1/(p+jω)		sin ωt
	e-j(ωt+ψ)	e-jψ/(p-jω)		sin (ωt+ψ)
	(1-at)e-at	p/(p+a)2		e-at sin ωt
	te-pt	1/(p+a)2		cos (ωt+ψ)
	1-e-pt	a/p(p+a)		e-at cos ωt
	(1- e-at)/a	1/p(p+a)		shat
	te-pt	1/(p+a)2		chat

 

Операторное сопротивление. Операторные сопротивления индуктивности и конденсатора или изображения Лапласа имеют вид:

Z_L(p) = Lp и Z_C(p) =1/Cp.

Резистор не имеет зависимости от частоты, поэтому изображение сохраняется в форме оригинала R(p) = R. Напряжение на резисторе оригинала равно: u_R(t) = R i_R(t). Операторное изображение напряжения на резисторе равно: U_R(p)= RI_R(p).

Операторное изображение сопротивления ветви (рис.2.1), содержащей резистор, индуктивность и конденсатор, представляется в виде:

Z(p) = R + Lp + 1/Cp.

 

R Lp 1/Cp

 

 

Рис.2.1. Операторное сопротивление ветви

 

 

Законы Кирхгофа в операторной форме. Первый закон Кирхгофа в операторной форме – это сумма изображений токов для узла равна нулю, а второй закон Кирхгофа в операторной форме – это сумма изображений ЭДС равна сумме изображений напряжений в контуре:

.

 

Модуль 6. Семинар 9 «Операторный метод расчета переходных процессов в сложных цепях с двумя, тремя и более накопителями»

 

План занятия

1. Краткое теоретическое введение

2. Разбор типовых задач.

	Основные законы Кирхгофа и обобщенный закон Ома для расчета цепей в изображениях Составление схем замещения в изображениях и их расчет.
	Представление изображения в виде полиномов рациональной дроби. Свойства корней полиномов числителя и знаменателя. Переход к оригиналу от изображения Лапласа по теореме разложения.

3. Самостоятельное решение задач.

4. Обсуждение самостоятельно решенных задач, включая домашнее задание

5. Краткое обобщение рассмотренных вопросов и подведение итогов

6. Контрольная работа по модулю.

7. Следующее домашнее задание

 

Теоретическая часть