Автокорреляционная функция и теорема Винера-Хинчина

¨ Корреляционная функция K(t) случайных

величин x(t) и x(t+t) определяется:

, (7)

где t – сдвиг во времени

¨ Для стационарного случайного процесса

K(t) = K(-t) (8)

¨ Энергетический спектр S_x(w) стационарного

случайного процесса определяется как

преобразование Фурье от K(t):

, (9)

где w = 2pf – угловая частота.

¨ Корреляционная функция, в свою очередь, есть обратное преобразование Фурье от СПМ шума S_x (f).

(10)

Или:

(11)

¨ При t = 0 и при из (11) получим

дисперсию случайной величины x(t):

=. (12)

Корреляционная функция стационарного случайного процесса.

Cвойства автокорреляционной функции:

1) K(t) является четной функцией временного сдвига t,  так что K(t) = K(-t). Это следует из определения стационарного случайного процесса, т.е. из условия независимости его характеристик от начала отсчета.

2) K(t) зависит только от разности аргумента t = t ₂ – t₁.

3) K(t) максимальна при t = 0, т.е. K(0) ≥ K(t). Если интервал временного сдвига стремится к нулю, флуктуации становятся одинаковыми, и корреляционная функция равна дисперсии.

4) среднее значение (m₁)² = K(∞). Для многих физических процессов K(t)0 при τ+ ∞ и τ - ∞ Объясняется это тем, что многие физические процессы имеют конечное время последействия флуктуаций, которое характеризует связь между значениями случайной функции x(t) в предыдущие и последующие моменты времени.