Математические модели биполярного транзистора

Рассмотрим различные математические модели бипо­лярного транзистора.

Простейший вариант модели Эберса—Молла с двумя ис­точниками тока, управляемыми токами. Как и для диода,математическая модель транзистора — это совокупность эквивалентной схемы и математических выражений, опи­сывающих элементы этой схемы.

Эберс и Молл предложили в 1954 г. модель, различные варианты которой с развитием вычислительной техники и машинных методов анализа электронных схем стали широко использоваться на практике.

Рассмотрим простейший вариант модели (рис. 1.66), характерный использованием двух управляемых источни­ков. Каждый из них является источником тока, управля­емым током.

Определим еще не описанные величины:

a_стI — коэффициент передачи коллекторного тока (т. е. инверсный коэффициент передачи тока, индекс I означает инверсное включение);

i_{ks ,} i_эs соответственно ток насыщения (тепловой ток) коллектора и эмиттера.

Обратим внимание на то, что тепловой ток обычно зна­чительно меньше обратного тока соответствующего пере­хода: ток i_ks << I_ko Это необходимо помнить при исполь­зовании систем схемотехнического моделирования.

Именно источники тока, управляемые токами, отража­ют взаимодействие p-n-переходов транзистора.

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать:

Исключительно поучительным является детальное изу­чение этой, казалось бы, элементарной математической модели, особенно если это изучение включает численные расчеты по приведенным формулам. Здесь следует учиты­вать, что для ручного анализа схемы с управляемыми ис­точниками обычно оказываются кардинально более слож­ными, чем без них. Часто трудно осознать характер влияния на режим работы схемы того или иного управля­емого источника.

Практически используемые модели дополняются кон­денсаторами и резисторами. В таких моделях используют достаточно сложные математические зависимости. Эти модели хорошо моделируют транзистор и в установивших­ся, и в переходных режимах, и при прямом, и при инвер­сном включении.

Вариант модели Эберса—Молла с одним источником тока, управляемым током. Часто допустимо считать, что

Это равенство обосновывают, детально рассматривая физическую картину процессов в идеальном транзисторе. Для реальных транзисторов это равенство часто выполня­ется с большой погрешностью. Обозначим

Из выраженияследует, что Обозначим

Коэффициент b_ст1 называют статическим коэффици­ентом передачи базового тока для инверсного включения (обратным коэффициентом усиления тока в схеме с об­щим эмиттером).

Из последнего выражения следует; что

Используя выражения для i_эи i_K, получим

С учетом соотношения между a_ст и b_ст и между a_стI, и b_стI получим

После преобразований эти соотношения примут следу­ющий вид:

Последняя система двух уравнений позволяет исполь­зовать математическую модель транзистора с одним ис­точником тока, управляемым током, представленную на рис. 1.67.

Этот вариант модели лежит в основе более сложных моделей, широко используемых в практике математичес­кого моделирования электронных схем (и применяемых в пакетах программ Micro-Cap, Design Center и др.).

Эквивалентная схема транзистора для расчета схем с общим эмиттером. Упрощенные математические модели принято называть эквивалентными схемами.

Рассмотрим эквивалентную схему, которую можно ис­пользовать только при прямом (не инверсном) включении в режиме активной работы и режиме отсечки (в режиме насыщения ее использовать нельзя), и в случае, когда ам­плитуда переменной составляющей тока коллектора, а также амплитуда переменной составляющей напряжения и_кэ невелика. При выполнении этих условий в первом при­ближении выходные и входные характеристики транзис­тора можно считать линейными. Переходя к идеализи­рованным входным (рис. 1.68) и выходным (рис. 1.69) характеристикам транзистора, которые показаны пунк­тирными линиями, получим эквивалентную схему тран­зистора, представленную на рис. 1.70.

Резистор с сопротивлением r_б отражает факт наличия сопротивления базового слоя транзистора, а резистор с сопротивлением r_э — факт наличия сопротивления эмит-терного слоя.

Иногда вместо резистора г_э включают идеальный диод Д, который во включенном состоянии заменяют закорот-кой, а в выключенном — разрывом.

Емкость С'_k которую иногда включают в схему при ее анализе на переменном токе, отражает факт влияния на ток коллектора переменной составляющей напряжения между коллектором и эмиттером.

В первом приближении

где С_к — барьерная емкость коллекторного перехода.

Остальные элементы эквивалентной схемы соответ­ствуют уже полученному выражению

Подобные эквивалентные схемы рекомендуется ис­пользовать в учебных целях и при простых приближенных расчетах.

Профессиональные расчеты транзисторных схем реко­мендуется выполнять с помощью моделирующих про­грамм, использующих современные математические мо­дели транзисторов.