Периодограммные оценки спектральной плотности мощности.
Пренебрегая операцией вычисления математического ожидания и полагая, что конечное множество данных содержит N отсчетов, получаем выборочный спектр который может быть вычислен по конечной последовательности данных. Однако поскольку была опущена операция математического ожидания, эта оценка будет неустойчивой или несостоятельной. И для сглаживания применяется что-то вроде псевдоусреднения по ансамблю.
Существует три различных типа сглаживания быстрых флюктуаций спектра. Первый метод заключается в усреднении по соседним спектральным частотам. Если для вычисленный выборочный спектр на сетке частот, то модифицированная оценка периодограммы на частоте может быть получена посредством усреднения в P точках с каждой стороны от этой частоты Обобщением этого подхода является обработка выборочного спектра с помощью фильтра нижних частот с частотной характеристикой. В этом случае модифицированную периодограмму можно записать в виде свертки частотной характеристики фильтра нижних частот и самого выборочного спектра Вторым методом сглаживания выборочного спектра является усреднение по псевдоансамблю периодограмм за счет деления последовательности из N отсчетов данных на P неперекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом, так что DP N называемым периодограмма Бартлетта. Тогда p-ый сегмент будет состоять из отсчетов, где n 0,1, ,D-1,p 0,1, P-1. Для каждого сегмента независимо вычисляется выборочный спектр в диапазоне частот Далее на каждой частоте, представляющей интерес, P отдельных немодифицированных периодограмм усредняются, с тем чтобы получить окончательную оценку Математическое ожидание и дисперсия даются следующими выражениями Из выражения для дисперсии видно, что устойчивость спектральной оценки Бартлетта улучшается как величина, обратная числу сегментов P. Третьим и одним из самых эффективных методов является метод периодограмм Уэлча. Основное отличие от периодограммы Бартлетта состоит в том, что здесь используется окно данных и осуществлено перекрывающееся сегментирование последовательности отсчетов.
Применение окна данных дает незначительное ухудшение разрешения по частоте, так как сам спектр окна вносит погрешности в результирующий спектр, однако удается достичь уменьшения влияния боковых лепестков спектра прямоугольного окна, которое косвенно применяется при сегментировании последовательности данных.
Целью перекрытия сегментов является увеличение числа усредняемых сегментов и тем самым уменьшение дисперсии оценки спектральной плотности мощности.
Сам метод состоит в следующем.
Пусть дана запись комплексных данных, которая разбивается на число сегментов D со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами, тогда взвешенный p-ый сегмент будет состоять из отсчетов, где n 0,1 D-1, p 0,1 P-1, P N-D S 1 . А выборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот, где И окончательный вид периодограммы Бартлетта приобретает вид Среднее и дисперсия оценки выглядят следующим образом доказательство первого соотношения в приложении А При использовании перекрытия соседних сегментов можно сформировать большее число псевдореализаций, чем в методе Бартлетта, а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча, хотя порядок имеет тот же самый.
Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе. 1.3.4.